스코로호드 공간

카들라그 함수의 예. 왼쪽 극한과 오른쪽 극한이 항상 존재하며, 불연속점에서 함수의 값은 오른쪽 극한과 일치한다.

확률론과 실해석학에서 스코로호드 공간(Скороход空間, 틀:Llang)은 실수 구간 위에 정의된, 왼쪽 극한을 가지며 오른쪽 연속인 함수들의 폴란드 공간이다.틀:Rp 그 원소를 카들라그 함수(càdlàg函數, 틀:Llang)라고 한다. 그 위의 위상인 스코로호드 위상(Скороход位相, 틀:Llang)에서의 수렴은 시간의 측정(특히, 함수의 불연속점이 발생하는 시각)이 오차를 가질 수 있음을 반영한다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 분해 가능 완비 거리 공간 $(X,d_X)$
• 닫힌구간 $[a,b]⊊ℝ$

그렇다면, 함수 $f:[a,b]\to X$가 다음 조건을 만족시킨다면, 카들라그 함수라고 한다.틀:Rp

• $\mathrm{\forall }s\in [a,b):f(s)=\underset{t\to s^{+}}{\lim }f(t)$
• $\mathrm{\forall }s\in (a,b]:\mathrm{\exists }\underset{t\to s^{-}}{\lim }f(t)$

즉, 오른쪽 극한과 왼쪽 극한이 둘 다 존재하며, 실제 함수 값은 오른쪽 극한과 같아야 한다.

카들라드 함수들의 집합을 $𝔻([a,b],X)$라고 하자. 이 위에, 다음과 같은 거리 함수를 주자.틀:Rp

$d_{𝔻}(f,g)=\underset{\theta \in \mathrm{Aut}([a,b])}{\inf }\max \{\underset{t\in [a,b]}{\sup }{d}_X(f(t),g(\theta (t))),\underset{a\le s<t\le b}{\sup }|\ln \frac{\theta (t)-\theta (s)}{t-s}|\}$

여기서

• $\mathrm{Aut}([a,b])$는 $[a,b]\to [a,b]$ 전단사 증가 연속 함수들의 군이다.

그렇다면, 이는 분해 가능 완비 거리 공간을 이룬다.틀:Rp $(𝔻([a,b],X),d_{𝔻})$를 스코로호드 공간이라고 한다.

성질

스코로호드 공간에 다음과 같은, 더 단순한 거리 함수를 줄 수도 있다.

$d{\text{'}}_{𝔻}(f,g)=\underset{\theta \in \mathrm{Aut}(E,E)}{\inf }\max \{\underset{t\in [a,b]}{\sup }{d}_X(f(t),g(\theta (t))),\underset{a\le s\le t\le b}{\sup }|\theta (t)-s|\}$

이는 $d_{𝔻}$와 같은 위상을 정의하지만, 이는 일반적으로 완비 거리 공간을 정의하지 못한다.틀:Rp

임의의 $\theta \in \mathrm{Aut}([a,b])$에 대하여,

$(\circ \theta ):D([a,b],X)\to 𝔻([a,b],X)$

는 정의에 따라 전단사 등거리 변환을 이룬다.

포함 관계

정의에 따라, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

${𝒞}^0([a,b],X)⊊𝔻([a,b],X)$

만약 ${𝒞}^0([a,b],X)$에 거리 함수

$d(f,g)=\underset{t\in [a,b]}{\sup }{d}_X(f(t),g(t))$

를 부여할 경우, 이 포함 사상은 연속 함수이다. 또한, 연속 함수의 스코로호드 수렴은 이 거리 함수에서의 수렴과 동치이다. 따라서, ${𝒞}^0([a,b],X)$는 $𝔻([a,b],X)$의 닫힌집합을 이룬다.

수렴

스코로호드 위상에서, 카들라그 함수열

$(f_i{)}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}\subseteq 𝔻([a,b],X)$

이

$f\in 𝔻([a,b],X)$

로 수렴할 필요 충분 조건은 다음과 같다.

어떤 함수열 $({\theta }_i{)}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}\subseteq \mathrm{Aut}([a,b])$에 대하여, $f_i\circ {\theta }_i$가 $f$로 균등 수렴하며, 또한 ${\theta }_i$가 항등 함수 ${\mathrm{id}}_{[a,b]}$로 균등 수렴한다.

특히, 만약 함수열 $f_i$가 연속 함수만으로 구성된다면, 그 (스코호로트 위상에서의) 수렴은 $f_i$의 균등 수렴과 동치이다.틀:Rp

다른 위상

$𝔻([a,b],X)$ 위에 L^∞ 노름

$\Vert f\Vert =\underset{t\in [a,b]}{\sup }f(t)$

을 주면 이는 바나흐 공간을 이루지만, 이는 분해 가능 공간을 이루지 못한다. 이 때문에 이 위상은 확률론에서 잘 사용되지 않는다.

역사

“카들라그 함수”(틀:Llang)라는 용어는 틀:Llang(오른쪽에서 연속, 왼쪽에서 극한)의 머리글자를 딴 것이다.

카들라그 함수의 공간 위의 스코로호드 위상은 L^∞ 노름의 분해 가능성의 실패를 고치기 위하여 아나톨리 볼로디미로비치 스코로호드(틀:Llang, 틀:Llang, 1930〜2011)가 1956년에 도입하였다. 이 논문에서 스코로호드는 여러 개의 위상들($M_1$, $M_2$, ${𝐉}_1$, ${𝐉}_2$)을 정의하였는데, 그 가운데 오늘날 ‘스코로호드 위상’이라고 불리는 것은 ${𝐉}_1$이다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:서적 인용