슈바르츠 보조정리

틀:위키데이터 속성 추적 복소해석학에서 슈바르츠 보조정리(-補助定理, 틀:Llang)는 푸앵카레 원판 위의 정칙 함수의 성질을 다루는 보조정리이다.

정의

열린 단위 원판 $\mathrm{B}(0,1)\subseteq ℂ$ 위의 정칙 함수 $f:\mathrm{B}(0,1)\to \mathrm{B}(0,1)$가 $f(0)=0$을 만족시킨다고 하자. 슈바르츠 보조정리에 따르면, 다음이 성립한다.

• 임의의 $z\in \mathrm{B}(0,1)$에 대하여, $|f(z)|\le |z|$이다.
• $|f^{\prime }(0)|\le 1$
• 다음 두 조건이 서로 동치이다.
  • $|f(z)|=|z|$인 $0\ne z\in \mathrm{B}(0,1)$가 존재하거나, $|f^{\prime }(0)|=1$이다.
  • 임의의 $z\in \mathrm{B}(0,1)$에 대하여 $f(z)=az$이다. 여기서 $a\in ℂ$는 $|a|=1$인 상수이다. (즉, $f$는 $\mathrm{B}(0,1)$ 위의 (원점을 보존하는) 쌍정칙 함수이다.)

이에 따라, 열린 단위 원판 위의 정칙 함수는 원점과의 거리를 증가시키지 않는다.

증명

함수 $g:\mathrm{B}(0,1)\to ℂ$를 다음과 같이 정의하자.

$g(z)=\{\begin{array}{cc}f(z)/z& z\ne 0\\ f^{\prime }(0)& z=0\end{array}\mathrm{\forall }z\in \mathrm{B}(0,1)$

그렇다면, $g$는 정칙 함수이다. 최대 절댓값 원리에 의하여, 임의의 $z\in \mathrm{B}(0,1)$ 및 $|z|<r<1$에 대하여,

$|g(z)|\le \underset{|w|=r}{\sup }|g(w)|\le \frac{1}{r}$

이며, 따라서

$|g(z)|\le \underset{r\to 1^{-}}{\lim }\frac{1}{r}=1$

이다. 즉, $z\ne 0$일 경우 $|f(z)|\le |z|$이며 (0에서도 자명하게 성립한다), 또한 $|f^{\prime }(0)|\le 1$이다.

만약 $|f(z)|=|z|$인 $0\ne z\in \mathrm{B}(0,1)$가 존재하거나, $|f^{\prime }(0)|=1$이라면, $|g|$는 $\mathrm{B}(0,1)$에서 최댓값 1을 가지므로, 상수 함수이다. 즉, 임의의 $z\in \mathrm{B}(0,1)$에 대하여 $g(z)=a$인 $a\in ℂ$가 존재하며, $|a|=1$이다. 즉, 임의의 $z\in \mathrm{B}(0,1)$에 대하여, $f(z)=az$이다.

만약 임의의 $z\in \mathrm{B}(0,1)$에 대하여 $f(z)=az$이며, $a\in ℂ$가 $|a|=1$인 상수라면, 자명하게 임의의 $z\in \mathrm{B}(0,1)$에 대하여 $|f(z)|=|z|$이며, 또한 $|f^{\prime }(0)|=1$이다.

따름정리

단위 원판 위의 쌍정칙 함수의 분류

열린 단위 원판 $\mathrm{B}(0,1)\subseteq ℂ$ 위의 쌍정칙 함수 $f:\mathrm{B}(0,1)\to \mathrm{B}(0,1)$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $f$는 뫼비우스 변환이며, 다음과 같은 꼴이다.

$f(z)=a\frac{z-z_0}{1-\overline{z_0}z}\mathrm{\forall }z\in \mathrm{B}(0,1)$

여기서 $a,z_0\in ℂ$는 $|a|=1$이며 $|z_0|<1$인 상수이다.

단위 원판 위의 쌍정칙 함수의 분류의 증명

이는 슈바르츠 보조정리로부터 간단히 증명된다. 함수 ${\phi }_{f(0)}:\mathrm{B}(0,1)\to \mathrm{B}(0,1)$를 다음과 같이 정의하자.

${\phi }_{f(0)}(z)=\frac{z-f(0)}{1-\overline{f(0)}z}\mathrm{\forall }z\in \mathrm{B}(0,1)$

이는 $\mathrm{B}(0,1)$ 위의 쌍정칙 함수이며, ${\phi }_{f(0)}(f(0))=0$이다. 따라서,

$g={\phi }_{f(0)}\circ f:\mathrm{B}(0,1)\to \mathrm{B}(0,1)$

는 $\mathrm{B}(0,1)$ 위의 쌍정칙 함수이며, $g(0)=0$이다. 슈바르츠 보조정리에 의하여,

$1\le \frac{1}{|(g^{-1}{)}^{\prime }(0)|}=|g^{\prime }(0)|\le 1$

이므로, $|g^{\prime }(0)|=1$이다. 따라서, 임의의 $z\in \mathrm{B}(0,1)$에 대하여 $g(z)=az$인 $a\in ℂ$가 존재하며, $|a|=1$이다. 즉, $z\in \mathrm{B}(0,1)$에 대하여,

$f(z)={\phi }_{f(0)}^{-1}(g(z))=a\frac{z+f(0)a^{-1}}{1+\overline{f(0)}az}$

이다. 즉, $z_0=-f(0)a^{-1}$를 취하면 된다.

슈바르츠-픽 보조정리

열린 단위 원판 $\mathrm{B}(0,1)\subseteq ℂ$ 위의 정칙 함수 $f:\mathrm{B}(0,1)\to \mathrm{B}(0,1)$가 주어졌다고 하자. 슈바르츠-픽 보조정리(-補助定理, 틀:Llang)에 따르면, 다음이 성립한다.

• 임의의 $z,w\in \mathrm{B}(0,1)$에 대하여,

  $\left|\frac{f(z)-f(w)}{1-\overline{f(z)}f(w)}\right|\le \left|\frac{z-w}{1-\overline{z}w}\right|$

• 임의의 $z\in \mathrm{B}(0,1)$에 대하여,

  $|f^{\prime }(z)|\le \frac{1-|f(z){|}^2}{1-|z{|}^2}$

• 다음 두 조건이 서로 동치이다.
  • 첫 번째 부등식에서 등식이 성립하는 $z,w\in \mathrm{B}(0,1)$이 존재하거나, 두 번째 부등식에서 등식이 성립하는 $z\in \mathrm{B}(0,1)$이 존재한다.
  • 임의의 $z\in \mathrm{B}(0,1)$에 대하여 $f(z)=a(z-z_0)/(1-\overline{z_0}z)$이다. 여기서 $a,z_0\in ℂ$는 $|a|=1$이고 $|z_0|<1$인 상수이다. (즉, $f$는 $\mathrm{B}(0,1)$ 위의 쌍정칙 함수이다.)

이에 따라, 열린 단위 원판 위의 정칙 함수는 두 점 사이의 쌍곡 거리

$d(z,w)={\tanh }^{-1}\left|\frac{z-w}{1-\overline{z}w}\right|$

를 증가시키지 않는다.

슈바르츠-픽 보조정리의 증명

임의의 $w\in \mathrm{B}(0,1)$를 취하고, 다음과 같은 함수 ${\phi }_w,{\phi }_{f(w)}:\mathrm{B}(0,1)\to \mathrm{B}(0,1)$을 정의하자.

${\phi }_w(z)=\frac{z-w}{1-\overline{w}z}$

${\phi }_{f(w)}(z)=\frac{z-f(w)}{1-\overline{f(w)}z}\mathrm{\forall }z\in \mathrm{B}(0,1)$

이들은 $\mathrm{B}(0,1)$ 위의 쌍정칙 함수이며, ${\phi }_w(w)={\phi }_{f(w)}(f(w))=0$이므로,

$g={\phi }_{f(w)}\circ f\circ {\phi }_w^{-1}:\mathrm{B}(0,1)\to \mathrm{B}(0,1)$

는 정칙 함수이며, $g(0)=0$이다. 슈바르츠 보조정리에 의하여, 임의의 $z\in \mathrm{B}(0,1)$에 대하여,

$|g({\phi }_w(z))|\le |{\phi }_w(z)|$

$|g^{\prime }(0)|\le 1$

이다. 이는 각각 첫 번째 및 두 번째 부등식과 같다. 첫 번째 부등식에서 등식이 성립하는 $z,w\in \mathrm{B}(0,1)$이 존재하거나, 두 번째 부등식에서 등식이 성립하는 $z\in \mathrm{B}(0,1)$이 존재하는 것은

$g={\phi }_{f(w)}\circ f\circ {\phi }_w^{-1}$

가 $\mathrm{B}(0,1)$ 위의 (원점을 보존하는) 쌍정칙 함수인 것과 동치이며, 이는 $f$가 쌍정칙 함수인 것과 동치이다.

역사

독일의 수학자 헤르만 아만두스 슈바르츠의 이름을 땄다.

같이 보기

• 보렐-카라테오도리 정리

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드