푸앵카레 원판

기하학에서 푸앵카레 원판(틀:Llang) 또는 푸앵카레 공(틀:Llang)은 원판 또는 공 모양의 쌍곡공간의 모형이다.

역사

앙리 푸앵카레의 이름이 붙어 있으나, 사실 에우제니오 벨트라미가 최초로 도입하였다.^[1] 벨트라미는 이 모형으로 비유클리드 기하학의 일관성을 증명하였다.

n차원 푸앵카레 공은 다음과 같은 계량이 주어진 단위 열린 공

B = {x \in ℝ^{n} : \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} < 1}

이다. 여기에 주어진 리만 계량은 다음과 같다.

d s^{2} = 4 \frac{\sum_{i = 1}^{n} d x_{i}^{2}}{1 - \sum_{i = 1}^{n} x^{2}}

구체적으로, 두 점 $x, y \in B$ 사이의 거리는 다음과 같다.

d (x, y) = \cosh^{- 1} (1 + \frac{2 ‖ x - y ‖^{2}}{(1 - ‖ x ‖^{2}) (1 - ‖ y ‖^{2})})

2차원 푸앵카레 공은 푸앵카레 원판이라고 한다.

쌍곡기하학의 기하학적인 개념들은 푸앵카레 공에서 다음과 같이 구현된다.