최대 절댓값 원리

틀:위키데이터 속성 추적 복소해석학에서 최대 절댓값 원리(最大絶大-原理, 틀:Llang) 또는 최대 절댓값 정리(最大絶大-定理)는 상수 함수가 아닌 정칙 함수의 절댓값이 극대점을 갖지 않는다는 정리이다.

정의

연결 열린집합 $D\subseteq ℂ$에 정의된 정칙 함수 $f:D\to ℂ$가 상수 함수가 아니라고 하자. 최대 절댓값 원리에 따르면, $|f|$는 극대점을 가지지 않는다. 즉, 임의의 $z\in D$ 및 근방 $N\ni z$에 대하여,

$|f(z)|<\underset{z^{\prime }\in N\cap D}{\sup }|f(z^{\prime })|$

이다.틀:Rp

유계 연결 열린집합 $D\subseteq ℂ$에 정의된 연속 함수 $f:\mathrm{cl}D\to ℂ$가 $D$에서 정칙 함수이며, 상수 함수가 아니라고 하자. 그렇다면, $|f|$의 모든 최대점은 $D$의 경계점이다. 즉, 임의의 $z\in D$에 대하여,

$|f(z)|<\underset{z^{\prime }\in \partial D}{\sup }|f(z^{\prime })|$

이다. 이는 경계점이 아닌 최대점은 $D$에서의 극대점이기 때문이다.

증명

열린 사상 정리를 통한 증명

열린 사상 정리에 의하여,틀:Rp 임의의 $z\in D$ 및 근방 $N\ni z$에 대하여, $f(N\cap D)$는 열린집합이므로, $f(z)$는 $f(N\cap D)$의 내부점이다. 따라서, $|f(z^{\prime })|>|f(z)|$인 $z^{\prime }\in N\cap D$가 존재한다. 즉, $|f(z)|$는 $N\cap D$에서의 최댓값이 아니다.

코시 적분 공식을 통한 증명

귀류법을 사용하여, $z\in D$가 근방 $N\ni z$에서 $|f|$의 최대점이라고 하자.틀:Rp

$\{w\in ℂ:|w-z|\le r\}\subseteq N$

인 $r>0$을 취하자. 코시 적분 공식에 의하여

$f(z)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(z+r{e}^{i\theta })\mathrm{d}\theta$

이다. 만약

$|f(z)|>|f(z+r{e}^{i\theta })|$

인 $\theta \in [0,2\pi )$가 존재한다면,

$|f(z)|\le \frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f(z+r{e}^{i\theta })|\mathrm{d}\theta$

에 모순이므로, 임의의 $\theta \in [0,2\pi )$에 대하여,

$|f(z)|=|f(z+r{e}^{i\theta })|$

이다. 이에 따라, $f$는 상수 함수이며, 이는 모순이다.

따름정리

최대 절댓값 원리는 다음과 같은 명제들을 증명하는 데 쓰인다.

• 대수학의 기본 정리
• 슈바르츠 보조정리
• 보렐-카라테오도리 정리

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드