소수 모듈러 형식

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 모듈러 형식은 복소해석학 및 정수론에서 중요한 상반평면에 있는 특정 복소 해석 함수이다. 소수 $p$를 법으로 환산하면 복소 모듈러 형식의 고전 이론과 모듈러 형식의 $p$-진 이론에 대한 비슷한 이론이 있다.

법 2로 모듈러 형식 축소

법 2로 줄이기 위한 조건

모듈러 형식은 해석 함수이므로 푸리에 급수 표현을 갖는다. 모듈러 형식도 모듈러 군의 군 작용에 대한 함수 방정식을 만족하므로 이 푸리에 급수는 항 $q=e^{2\pi iz}$으로 표현될 수 있다. 그래서 만약 $f$가 모듈러 형식이면 $f(z)=\sum _{n\in \mathbb{N}}c(n)q^n$이 성립하는 계수들 $\{c(n)\}$이 있다. 모듈러 형식들 가운데 $q$-급수의 계수가 모두 정수인 경우만 모은 모듈러 형식 공간의 부분 공간을 고려하자. 그러면 모든 계수를 법 2로 줄이는 것이 가능하며, 이는 법 2로 축소한 모듈러 형식을 제공한다.

법 2 모듈러 형식의 기저

모듈러 형식은 $G_2$, $G_3$로 생성된다. 그러면 $G_2$, $G_3$를 $q$ -급수의 계수가 모두 정수인 $E_2$, $E_3$로 정규화 할 수 있다. 이것은 법 2로 축소될 수 있는 모듈러 형식들의 생성원이다. 밀러 기저에는 몇 가지 흥미로운 성질이 있다. 일단 법 2를 줄이면, $E_2$와 $E_3$는 그냥 $1$이다. 즉, 자명한 축소이다. 자명하지 않은 축소를 얻기 위해 수학자들은 모듈러 판별식 $\mathrm{\Delta }$을 사용한다. $\mathrm{\Delta }$는 $E_2$와 $E_3$ 이전에 "선험적인" 생성원으로 도입되었다. 따라서 모듈러 형식은 $E_2$, $E_3$, $\mathrm{\Delta }$의 다항식으로 여겨진다. (일반적으로 $ℂ$ 위에서이지만, 축소를 위해 정수 $\mathbb{Z}$를 통해 볼 수 있다.) 일단 법 2로 축소하면 ${𝔽}_2$위에서 $\mathrm{\Delta }$의 다항식이 된다.

법 2 모듈러 판별식

모듈러 판별식은 무한 곱

$\mathrm{\Delta }(q)=q\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^n{)}^{24}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\tau (n)q^n.$

으로 정의된다. 이 무한곱의 $q$-급수 형태에서 계수는 일반적으로 라마누잔 타우 함수 $\tau$에 해당한다. 콜베르그와 장-피에르 세르의 결과는 $\mathrm{\Delta }(q)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^{(2m+1{)}^2}mod2$ 임을 보여준다. 즉, 2를 법으로 $\mathrm{\Delta }$의 $q$ -급수는 $q$ 홀수 제곱의 거듭제곱에.

법 2 헤케 연산자

헤케 연산자는 일반적으로 모듈러 형식에서 작동하는 가장 중요한 연산자로 여겨진다. 따라서 이를 법 2로 줄이려는 시도는 정당하다.

모듈러 형식 $f$의 헤케 연산자들은 다음과 같이 정의된다: $n\in \mathbb{N}$에 대해$T_{n}f(z)=n^{2k-1}\sum _{a\ge 1,ad=n,0\le b<d}{d}^{-2k}f\left(\frac{az+b}{d}\right)$ .

헤케 연산자는 다음과 같이 $q$-급수 위에서 정의할 수 있다: $f(z)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}c(n)q^n$이면, $T_{n}f(z)=\sum _{m\in \mathbb{Z}}\gamma (m)q^m$, 여기서

$\gamma (z)=\sum _{a|(n,m),a\ge 1}{a}^{2k-1}c\left(\frac{mn}{a^2}\right).$

모듈러 형식이 $q$-급수을 사용하여 축소되었기 때문에, $q$-급수 정의를 채택하는 것은 의미가 있다. 이 합은 소수 헤케 연산자(즉, $m$이 소수일 때)이 많이 단순화 하기 때문에(더하는 항이 2개뿐이다.), 이는 법 2로 축소에 하기 아주 좋다. 더하는 항이 3개 이상인 경우 법 2로 많은 상쇄가 발생하며 과정의 유의미성이 의심될 수 있다. 따라서 법 2 헤케 연산자는 일반적으로 소수에 대해서만 정의한다.

$q$ -표현 $f(q)=\sum _{n\in \mathbb{N}}c(n)q^n$을 가진 법 2 모듈러 형식 $f$에 대해, $f$ 위의 헤케 연산자 $T_p$는 $\overline{T_p}|f(q)=\sum _{n\in \mathbb{N}}\gamma (n)q^n$로 정의된다. 여기서

$\gamma (n)=\{\begin{array}{cc}c(np)& \text{ if }p\nmid n\\ c(np)+c(n/p)& \text{ if }p\mid n\end{array}\text{ and }p\text{ an odd prime}.$

법 2 헤케 연산자는 영인자를 가지고 있다는 흥미로운 성질에 유의하는 것이 중요하다. 영인자의 위수를 찾는 것은 장-피에르 세르와 장-루이 니콜라가 2012년에 발표한 논문에서 해결한 문제이다.

법 2 헤케 대수

헤케 대수는 법 2로 축소될 수도 있다. 그것은 ${𝔽}_2$ 위에서 법 2 헤케 연산자에 의해 생성된 대수로 정의된다.

에서 세르와 니콜라의 표기법에 따라 $ℱ=⟨{\mathrm{\Delta }}^k\mid k\text{ odd}⟩$, 즉 $ℱ=⟨\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^3,{\mathrm{\Delta }}^5,{\mathrm{\Delta }}^7,{\mathrm{\Delta }}^9,\dots ⟩$. $\dim (ℱ(n))=n$ 이도록$ℱ(n)=⟨\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^3,{\mathrm{\Delta }}^5,\dots ,{\mathrm{\Delta }}^{2n-1}⟩$로 쓰면서, 주어진 ${𝔽}_2$ 그리고 $T_p$애 대해 $A(n)$를 $\text{End}(ℱ(n))$의 ${𝔽}_2$-부분 대수로 정의한다.

즉, 만약 $𝔪(n)=\{T_{p_1}\cdot T_{p_2}\cdots T_{p_k}\mid p_1,p_2,\dots ,p_k\in \mathbb{P},k\ge 1\}$ 이 $ℱ$의 부분 선형 공간이면, $A(n)={𝔽}_2\oplus 𝔪(n)$.

마지막으로 헤케 대수 $A$를 다음과 같이 정의한다: $ℱ(n)\subset ℱ(n+1)$이므로, $A(n)$의 원소를 얻기 위해 $A(n+1)$의 원소를 $ℱ$로 제한할 수 있다. 사상 ${\varphi }_n:A(n+1)\to A(n)$을 $ℱ(n)$에 대한 제한으로 생각할 때, ${\varphi }_n$는 준동형사상이다. $A(1)$이 항등원 또는 0이므로 $A(1)\cong {𝔽}_2$이다. 따라서 사슬$\dots \to A(n+1)\to A(n)\to A(n-1)\to \dots \to A(2)\to A(1)\cong {𝔽}_2$ 을 얻는다. 그런 다음 헤케 대수 $A$를 $n\to \mathrm{\infty }$일 때 $A(n)$위의 사영 극한으로 정의하자. 명시적으로 이것은$A=\underset{n\in \mathbb{N}}{\underleftarrow{\lim }}A(n)=\{T_{p_1}\cdot T_{p_2}\cdots T_{p_k}|p_1,p_2,\dots ,p_k\in \mathbb{P},k\ge 0\}$을 의미한다.

헤케 대수 $A$의 주요 성질은 이 대수가 $T_3$와 $T_5$의 급수로 생성된다는 것이다. 즉, $A={𝔽}_2[T_p\mid p\in \mathbb{P}]={𝔽}_2\left[[T_3,T_5]\right]$.

따라서 임의의 소수 $p\in \mathbb{P}$에 대해, $T_p=\sum _{i+j\ge 1}{a}_{ij}(p)T_3^i{T}_5^j$이 성립하는 계수 $a_{ij}(p)\in {𝔽}_2$를 찾을 수 있다.