라마누잔 타우 함수

틀:위키데이터 속성 추적 라마누잔 타우 함수(Ramanujan Tau Function) $\tau (n)$는 타우 함수(Tau Function)로도 불린다.

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
$\tau (n)$	1	−24	252	−1472	4830	−6048	−16744	84480	−113643	−115920	534612	−370944	−577738	401856	1217160	987136

$=1x^1-24x^2+252x^3-1472x^4+4830x^5-6048x^6+....$

$=x(1-3x^1+5x^3-7x^6+....{)}^8$

$=x\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-x^n{)}^{24}$

$=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\tau (n)x^n$

라마누잔의 계산식

$\tau (n)(n-1)=\sum _{k=1}^{b_n}(-1{)}^{k+1}(2k+1)(n-1-9K)\tau (n-K)$

$b_n=\frac{\sqrt{8n+1}-1}{2}$

$K=\frac{k(k+1)}{2}$

따라서,

$\tau (n)(n-1)=\sum _{k=1}^{b_n}(-1{)}^{k+1}(2k+1)(n-1-9K)\tau (n-K)$

데데킨트 에타 함수와의 관계

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\tau (n)x^n=\eta (\tau {)}^{24}=\mathrm{\Delta }(\tau )$

$x=e^{2\pi i\tau }$

$\eta (\tau )$ 데데킨트 에타 함수

같이 보기

• 약수함수
• L-함수