리프먼-슈윙거 방정식

틀:위키데이터 속성 추적 틀:접이식 사이드바 양자역학에서 리프먼-슈윙거 방정식(틀:Lang)은 입자의 산란을 다루는 방정식이다. 미국의 버너드 리프먼(틀:Lang)과 줄리언 슈윙거가 1950년에 유도하였다.

정의

자유 해밀토니언이 $H_0$인 계에 퍼텐셜 $V$가 산란을 일으킨다고 하자. 입사(入射) 입자 $|\varphi ⟩$는 자유 해밀토니언에 대하여 에너지 $E$를 가진 고유 상태라고 하자.

$H_0|\varphi ⟩=E|\varphi ⟩$.

산란 이론의 목표는 $V$에 의하여 산란된 입자의 파동 함수 $|\psi ⟩$를 계산하는 것이다. 즉, 다음 식을 만족하는 $|\psi ⟩$를 구한다.

$(H_0+V)|\psi ⟩=E|\psi ⟩$.

이 두 식을 더하고, 항을 정리하면 다음과 같은 식을 얻는다.

$(E-H_0)|\psi ⟩=(E-H_0)|\varphi ⟩+V|\psi ⟩$.

이제 양변에 $(E-H_0{)}^{-1}$를 곱할 수 있다면, 다음과 같은 식을 얻을 것이다.

$|\psi ⟩\stackrel{?}{=}|\varphi ⟩+(E-H_0{)}^{-1}V|\psi ⟩$.

하지만 $(E-H_0{)}^{-1}$은 $H_0$에 대한 고윳값이 $E$일 경우에는 정의할 수 없다. 섭동 이론에서는 고윳값이 문제가 되는 경우를 적절한 사영 연산자로 사영해 없앨 수 있지만, 산란 이론에서 다루는 해밀토니언은 연속 스펙트럼을 가지므로 이렇게 할 수 없다. 대신, $E$를 복소수로 잡고, 그 허수 부분이 매우 작다고 하자.

$|{\psi }^{\pm }⟩=|\varphi ⟩+(E\pm iϵ-H_0{)}^{-1}V|{\psi }^{\pm }⟩$ ($ϵ\ll 1$).

이렇게 하여 $|{\psi }^{\pm }⟩$을 나타낼 수 있다. 이 식을 리프먼-슈윙거 방정식이라고 한다. 리프먼-슈윙거 방정식은 경로적분법을 통해 풀 수 있으며, 그 해 가운데 $|{\psi }^{+}⟩$는 초기 상태, $|{\psi }^{-}⟩$는 나중 상태의 파동 함수이다.

그린 함수

리프먼-슈윙거 방정식은 다음과 같이 위치 고유벡터 $|𝐫⟩$을 삽입해 적분 방정식으로 나타낼 수 있다.

$⟨𝐫|{\psi }^{\pm }⟩=⟨𝐫|\varphi ⟩+\int ⟨{𝐫}^{\prime }|(E\pm iϵ-H_0{)}^{-1}V|{𝐫}^{\prime }⟩⟨{𝐫}^{\prime }|{\psi }^{\pm }⟩d{𝐫}^{\prime }$.

통상적인 경우, 퍼텐셜 항은 위치에만 의존한다.

$V=V(𝐫)$

그러면 이 식은 다음과 같다.

$⟨𝐫|{\psi }^{\pm }⟩=⟨𝐫|\varphi ⟩+\int ⟨𝐫|(E\pm iϵ+{\mathrm{\nabla }}^2/2m{)}^{-1}|{𝐫}^{\prime }⟩V({𝐫}^{\prime })⟨{𝐫}^{\prime }|{\psi }^{\pm }⟩d{𝐫}^{\prime }$.

여기서 다음과 같이 그린 함수 $G^{\pm }(𝐫,{𝐫}^{\prime })$를 정의하자.

$G^{\pm }(𝐫,{𝐫}^{\prime })=⟨𝐫|(E\pm iϵ+{\mathrm{\nabla }}^2/2m{)}^{-1}|{𝐫}^{\prime }⟩$.

이를 대입하고, 브라-켓 표기법을 일반 함수 표기법으로 바꾸면 다음과 같은 적분 방정식을 얻는다.

${\psi }^{\pm }(𝐫)=\varphi (𝐫)+\int G^{\pm }(𝐫,{𝐫}^{\prime })V({𝐫}^{\prime }){\psi }^{\pm }({𝐫}^{\prime })d{𝐫}^{\prime }$.

빛의 속도보다 매우 느린 입자의 경우 $H_0$은 다음과 같다.

$H_0={𝐩}^2/2m=-{\hslash }^2{\mathrm{\nabla }}^2/2m$.

이에 해당하는 그린 함수 $G^{\pm }(𝐫,{𝐫}^{\prime })$는 경로적분법을 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.

$G^{\pm }(𝐫,{𝐫}^{\prime })=-\frac{2m}{{\hslash }^2}\frac{\exp (\pm i\sqrt{2mE}\Vert 𝐫-{𝐫}^{\prime }\Vert /\hslash )}{4\pi \Vert 𝐫-{𝐫}^{\prime }\Vert }$.

보른 근사법

리프먼-슈윙거 방정식의 해는 보른 근사법(틀:Lang)을 통해 급수로 나타낼 수 있다.

1차 보른 근사법이란 리프먼-슈윙거 방정식 우변에서 총 파동 함수 $|\psi ⟩$를 입사 파동 함수 $|\varphi ⟩$으로 치환하여 푸는 것이다. (즉, 이미 산란된 입자가 재차로 산란되는 경우를 무시한다.)

$|{\psi }^{(1)}⟩=|\varphi ⟩+(E+iϵ-H_0{)}^{-1}V|\varphi ⟩$.

이 해를 리프먼-슈윙거 방정식에 도입해 2차 이상의 보른 근사를 차례로 계산할 수 있다.

$|{\psi }^{(n+1)}⟩=|\varphi ⟩+(E+iϵ-H_0{)}^{-1}V|{\psi }^{(n)}⟩$.

각주

• 틀:서적 인용