K·p 섭동 이론

틀:위키데이터 속성 추적 틀:소문자 응집물질물리학에서 k·p 섭동 이론(틀:Lang)은 띠구조를 다루는 섭동 이론의 하나다.

전개

위치 에너지 $V(\overrightarrow{r})$ 속에 있는 전자의 해밀토니언은 다음과 같다.

$H_0={𝐩}^2/2m+V(𝐫)+\frac{1}{4m^2{c}^2}(\mathit{\sigma }\times \mathrm{\nabla }V)\cdot 𝐩$.

전자 파동 함수 $\psi (𝐫)$는 슈뢰딩거 방정식

$H_0\psi (𝐫)=E\psi (𝐫)$

을 만족한다.

위치 에너지 $V(\overrightarrow{r})$은 브라베 격자의 주기성을 지닌다. 따라서 파동 함수를 블로흐 파

$\psi (𝐫)=\sum _{𝐤}\exp (i𝐤\cdot 𝐫)u_{𝐤}(𝐫)$

로 나타내자. 여기서 $u_{𝐤}$는 브라베 격자의 주기성을 지닌다. 그렇다면 슈뢰딩거 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$H_{𝐤}{u}_{𝐤}(𝐫)=E_{𝐤}{u}_{𝐤}(𝐫)$.

여기서

$H_{𝐤}=H_0+H{\text{'}}_{𝐤}=H_0+\hslash 𝐤\cdot 𝐩/m+{\hslash }^2{𝐤}^2/2m+\frac{1}{4m^2{c}^2}(\mathit{\sigma }\times \mathrm{\nabla }V)\cdot 𝐤$

이다. 이제 $H_0$을 제외한 항들 $H{\text{'}}_{𝐤}$를 원래 해밀토니언 $H_0$에 대한 섭동항으로 간주하여 섭동 이론을 전개할 수 있다. 이 섭동 이론을 k·p 섭동 이론이라고 한다.

기본적인 경우

가장 기본적인 경우로, 스핀-궤도 결합 $(\mathit{\sigma }\times \mathrm{\nabla }V)\cdot 𝐩$를 무시한 경우를 생각히 보자. 만약 결정 구조가 원점 대칭을 가진다면, parity에 의해 $⟨n0|\overrightarrow{p}|0n⟩=0$ 이 성립한다. 즉, 에너지 1차 섭동은 0이다. 에너지 2차 섭동은 다음과 같다.

${\epsilon }_n(\overrightarrow{k})={\epsilon }_n(0)+\frac{{\overrightarrow{k}}^2}{2m}+\frac{1}{m^2}\sum _{\delta \ne n}\frac{⟨n0|p_{\mu }{k}_{\mu }|0\delta ⟩⟨\delta 0|p_{\nu }{k}_{\nu }|0n⟩}{{\epsilon }_{n0}-{\epsilon }_{\delta 0}}$

이 때, 고유함수를 1차항까지 전개하면,

$|\overrightarrow{k}n⟩=exp(i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r})(|0n⟩+\frac{1}{m}\sum _{\delta \ne n}\frac{⟨\delta 0|\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{p}|0n⟩}{{\epsilon }_{n0}-{\epsilon }_{\delta 0}})$.

유효 질량의 정의는 다음과 같다.

$(\frac{1}{m^{*}}{)}_{\mu \nu }=\frac{\partial }{\partial k_{\mu }}\frac{\partial }{\partial k_{\nu }}{\epsilon }_n(\overrightarrow{k})$

이 정의를 이용해 ${\epsilon }_n(\overrightarrow{k})$를 이차항까지 아래와 같은 꼴로 적어 준다.

${\epsilon }_n(\overrightarrow{k})={\epsilon }_n(0)+\frac{1}{2m}(\frac{m}{m^{*}}{)}_{\mu \nu }{k}_{\mu }{k}_{\nu }$

이 식과 앞에서 구한, 섭동에 따른 전개식을 사용하면, 다음과 같은 결과에 도달하게 된다.

$(\frac{m}{m^{*}}{)}_{\mu \nu }={\delta }_{\mu \nu }+\frac{2}{m}\sum _{\delta \ne n}\frac{⟨n0|p_{\mu }|0\delta ⟩⟨\delta 0|p_{\nu }|0n⟩}{{\epsilon }_{n0}-{\epsilon }_{\delta 0}}$

우변의 분모가 매우 작은 경우, 유효 질량 $m^{*}$이 실제 질량 $m$보다 매우 작게 된다. 예를 들어, 반도체 Cd_xHg_1−xTe ($x=0.136$)의 경우, 전도띠의 바닥 상태에서는 유효 질량이 $m^{*}/m\le 4*10^{-4}$으로 매우 작다.

스핀-궤도 결합

스핀-궤도 결합 효과를 고려하는 경우에는 보통 다음과 같은 역학적 운동량(틀:Lang) $\mathit{\pi }$를 정의한다.

$\mathit{\pi }=𝐩+\frac{1}{m{c}^2}\mathit{\sigma }\times \mathrm{\nabla }V(𝐫)$.

그렇다면 섭동 해밀토니언 $H{\text{'}}_{𝐤}$는 다음과 같다.

$H{\text{'}}_{𝐤}=\hslash 𝐤\cdot \mathit{\pi }/m+{\hslash }^2{𝐤}^2/2m.$

즉, 스핀-궤도 결합을 고려하려면 모든 공식에서 바른틀 운동량 $𝐩$를 역학적 운동량 $\mathit{\pi }$로 치환하기만 하면 된다.

겹침이 있는 경우의 k·p 섭동 이론

겹침이 있는 경우 k·p 섭동 이론은 더 복잡해진다. 기본적인 방법은 겹침이 없는 경우와 같으나, 기저를 새롭게 잡아서 해밀토니언의 섭동항의 대각 성분만 살려주도록 해야 한다. 경우에 따라 그 방법이 다양하다.

같이 보기

• 띠구조
• 준자유 전자 모형
• 띠틈
• 유효 질량
• 상태 밀도
• 블로흐 정리

각주

• 틀:서적 인용