불연속점의 분류

틀:위키데이터 속성 추적 연속 함수의 이론에서, 함수의 불연속점(不連續點, 틀:Llang)은 연속점이 아닌, 정의역 속의 점이다. 함수의 불연속점의 집합은 이산 집합이거나 조밀 집합일 수 있으며, 함수의 정의역 전체일 수 있다. 불연속점을 연속이 실패하는 원인이 무엇인지에 따라 분류할 수 있다. 일부 종류의 불연속점은 자연스럽게 연속점이 되게 메워줄 수 있으며, 일부는 그럴 수 없다.

정의

실수 함수의 경우를 생각하자. 대략, 불연속점은 좌극한과 우극한의 존재 여부에 따라 제1종 불연속점(第一種不連續點, 틀:Llang)과 제2종 불연속점(第二種不連續點, 틀:Llang)으로 분류된다. 제1종 불연속점은 좌극한과 우극한이 일치하는지에 따라 제거 가능 불연속점(除去可能不連續點, 틀:Llang)과 비약 불연속점(飛躍不連續點, 틀:Llang)으로 분류되며, 제2종 불연속점은 무한대인 좌극한이나 우극한이 있는지에 따라 무한 불연속점(無限不連續點, 틀:Llang)과 진동 불연속점(震動不連續點, 틀:Llang)으로 분류된다.

구체적으로, 정의역이 실수 열린구간 $I\subseteq ℝ$, 공역이 실수 집합 $ℝ$인 함수 $f:I\to ℝ$가 주어졌다고 하자.

제1종 불연속점

불연속점 $a\in I$가 다음 조건을 만족시키면, 제1종 불연속점이라고 한다.

• (좌·우극한 존재) $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)$와 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)$가 둘 다 존재한다.

제거 가능 불연속점

없앨 수 있는 불연속점

제1종 불연속점 $a\in I$가 동치인 다음 두 조건 중 적어도 하나를 만족하면 $a$를 제거 가능 불연속점 또는 없앨 수 있는 불연속점이라고 한다.

• (좌·우극한 일치) $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)$
• (극한 존재) $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$가 존재한다.
• (제거 가능) $f{|}_{I\setminus \{a\}}=g{|}_{I\setminus \{a\}}$인 연속 함수 $g:I\to ℝ$가 존재한다.

예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 제거 가능 불연속점이다.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2& x<1\\ 0& x=1\\ 2-x& x>1\end{array}$

제거 가능 불연속점은 함수의 재정의를 통해 연속점으로 만들 수 있다. 예를 들어, 위 함수를 다음과 같이 재정의하자.

$f(1)=1$

그렇다면, 1은 새로운 함수의 연속점이 된다.

비약 불연속점

비약 불연속성

제1종 불연속점 $a\in I$가 동치인 다음 두 조건 중 적어도 하나를 만족하면 a를 비약 불연속점 또는 뜀 불연속점이라고 한다.

• (좌·우극한 불일치) $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)$
• (극한 부재) $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$가 존재하지 않는다.

예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 비약 불연속점이다.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2& x<1\\ 0& x=1\\ 2-(x-1{)}^2& x>1\end{array}$

제2종 불연속점

불연속점 $a\in I$가 다음 조건을 만족시키면, 제2종 불연속점이라고 한다.

• (좌/우극한 부재) $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)$와 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)$ 가운데 적어도 하나가 존재하지 않는다.

무한 불연속점

무한 불연속점

제2종 불연속점 $a\in I$가 다음 조건을 만족시키면, 무한 불연속점이라고 한다.

• (좌/우극한 무한대) $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)$와 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)$ 가운데 적어도 하나가 사영 무한대 $\hat{\mathrm{\infty }}$이다.

예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 무한 불연속점이다.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sin \frac{5}{x-1}& x<1\\ 0& x=1\\ \frac{1}{x-1}& x>1\end{array}$

진동 불연속점

제2종 불연속점 $a\in I$가 다음 조건을 만족시키면, 진동 불연속점이라고 한다.

• (좌·우극한 무한대 아님) $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)$가 사영 무한대 $\hat{\mathrm{\infty }}$가 아니며, $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)$가 사영 무한대 $\hat{\mathrm{\infty }}$가 아니다.

예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 진동 불연속점이다.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sin \frac{5}{x-1}& x\ne 1\\ 0& x=1\end{array}$

성질

함수의 연속점의 집합은 항상 G_δ 집합이다. 함수의 불연속점의 집합은 항상 F_σ 집합이다.

실변수 실숫값 함수의 제1종 불연속점의 집합은 가산 집합이다. 틀:증명 편의상, 실수 구간 $I\subseteq ℝ$에 정의된 실숫값 함수 $f:I\to ℝ$만을 생각하자. $f$의 불연속점 집합을 $E\subseteq I$라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

$E=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n$

$E_n=\{a\in I:w_f(a)>\frac{1}{n}\}$

$w_f(a)=\underset{x\to a}{\mathrm{lim\; sup}}f(x)-\underset{x\to a}{\mathrm{lim\; inf}}f(x)$

이제 각 $E_n$이 고립점의 집합임을 증명하자. 임의의 $a\in E_n$에 대하여, $a$에서 좌극한과 우극한이 존재한다. 따라서, 다음을 만족시키는 $\delta >0$이 존재한다.

$|f(x)-\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)|<\frac{1}{2n}\mathrm{\forall }x\in (a-\delta ,a)$

$|f(x)-\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)|<\frac{1}{2n}\mathrm{\forall }x\in (a,a+\delta )$

따라서

$w_f(x)\le \underset{s,t\in (a-\delta ,a)}{\sup }|f(s)-f(t)|\le \frac{1}{n}\mathrm{\forall }x\in (a-\delta ,a)$

$w_f(x)\le \underset{s,t\in (a,a+\delta )}{\sup }|f(s)-f(t)|\le \frac{1}{n}\mathrm{\forall }x\in (a,a+\delta )$

즉, 각 $E_n$은 고립점의 집합이므로 가산 집합이다. 즉, $E$는 가산 집합이다. 틀:증명 끝 특히, 실변수 실숫값 단조함수의 불연속점은 항상 제1종 불연속점이므로, 단조함수의 불연속점 집합은 커야 가산 집합이다. 이를 프로다의 정리(틀:Llang)라고 한다. 틀:증명 편의상, 실수 구간 $I\subseteq ℝ$에 정의된 실숫값 단조함수 $f:I\to ℝ$만을 생각하자. 임의의 $a\in I$에 대하여, 상한 공리에 따라, 다음과 같은 상한이 존재한다.

$\underset{x\in I:x<a}{\sup }f(x)$

또한, 상한의 정의에 따라, 이는 $a$에서의 좌극한이다.

$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\in I:x<a}{\sup }f(x)$

비슷하게, 임의의 점에서의 우극한의 존재 역시 보일 수 있다. 틀:증명 끝

예

불연속점 집합이 실수 집합인 함수

디리클레 함수

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1& x\in \mathbb{Q}\\ 0& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\end{array}$

의 불연속점 집합은 실수 집합이다. 이들 불연속점은 모두 진동 불연속점이다.

불연속점 집합이 유리수 집합인 함수

토메 함수

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{q}& x=\frac{p}{q};p,q\in \mathbb{Z};q>0;\gcd \{p,q\}=1\\ 0& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\end{array}$

불연속점 집합은 유리수 집합이다. 이들 불연속점은 모두 제거 가능 불연속점이다.

불연속점 집합이 유리수 집합인 단조함수

전체 유리수를 나열한 수열 $(r_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.

$f(x)=\sum _{n\in \mathbb{N}:r_n<x}\frac{1}{2^n}(x\in ℝ)$

그렇다면, $f$는 불연속점 집합이 유리수 집합인 증가함수이다. 이들 불연속점은 모두 제거 가능 불연속점이다.

같이 보기

• 특이점 (해석학)

외부 링크

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