벨 다항식

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틀:위키데이터 속성 추적 벨 다항식(틀:Llang)은 조합론에서 에릭 템플 벨(Eric Temple Bell)의 이름을 따서 명명된 다항식이다. 또한 벨(Bell) 다항식은 집합 분할 연구에 사용된다. 이것은 스털링 수 및 벨 수와 관련이 있다. 그리고 이것들은 또한 파 디 브루노(Faà di Bruno)의 브루노 공식과 같은 많은 응용에서 언급된다.

벨다항식 생성함수

Bn(x)=Bn(x1,…,xn)=exp(−x)∑k=0∞knxkk!
=x∑k=1n(n−1k−1)Bk−1(x)

초기 벨 다항식

B0=1B1(x1)=x1B2(x1,x2)=x12+x2B3(x1,x2,x3)=x13+3x1x2+x3B4(x1,x2,x3,x4)=x14+6x12x2+4x1x3+3x22+x4B5(x1,x2,x3,x4,x5)=x15+10x2x13+15x22x1+10x3x12+10x3x2+5x4x1+x5B6(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=x16+15x2x14+20x3x13+45x22x12+15x23+60x3x2x1+15x4x12+10x32+15x4x2+6x5x1+x6B7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=x17+21x15x2+35x14x3+105x13x22+35x13x4+210x12x2x3+105x1x23+21x12x5+105x1x2x4+70x1x32+105x22x3+7x1x6+21x2x5+35x3x4+x7⋮

미분 표현

벨 다항식은 또한 다음과 같은 미분으로 표현가능하다.[1]

Bn(x1,…,xn)=1n−1(∑i=2n∑j=1i−1(i−1)(i−2j−1)xjxi−j∂Bn−1(x1,…,xn−1)∂xi−1+∑i=2n∑j=1i−1xi+1(ij)∂2Bn−1(x1,…,xn−1)∂xj∂xi−j+∑i=2nxi∂Bn−1(x1,…,xn−1)∂xi−1)

행렬 표현

완전한 종 다항식 Bn 은 부분 종 다항식 Bn,k 의 합으로 표현 할 수 있습니다.

Bn(x1,…,xn)=∑k=1nBn,k(x1,x2,…,xn−k+1)

완전한 종 다항식을 행렬식으로 표현 할 수 있습니다.

Bn(x1,…,xn)=det⁡[x1(n−11)x2(n−12)x3(n−13)x4(n−14)x5⋯⋯xn−1x1(n−21)x2(n−22)x3(n−23)x4⋯⋯xn−10−1x1(n−31)x2(n−32)x3⋯⋯xn−200−1x1(n−41)x2⋯⋯xn−3000−1x1⋯⋯xn−40000−1⋯⋯xn−5⋮⋮⋮⋮⋮⋱⋱⋮00000⋯−1x1]

같이 보기

참고

각주

틀:각주

  1. ↑ (Alexeev, Pologova & Alekseyev 2017, sect. 4.2.)Alexeev, N.; Pologova, A.; Alekseyev, M. A. (2017). "Generalized Hultman Numbers and Cycle Structures of Breakpoint Graphs". Journal of Computational Biology. 24 (2): 93–105. arXiv:1503.05285 Freely accessible. doi:10.1089/cmb.2016.0190
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