미분학적 공간

틀:위키데이터 속성 추적 기하학에서, 미분학적 공간(微分學的空間, 틀:Llang)은 매끄러운 다양체의 개념의 일반화이다.^[1] 미분학적 공간과 매끄러운 다양체 사이의 관계는 위상 공간과 다양체 사이의 관계와 유사하며, 미분학적 공간의 “차원”은 국소적으로 바뀔 수도, 잘 정의되지 않을 수도 있다.

정의

집합 $X$ 위의 미분학적 구조(微分學的構造, 틀:Llang) $𝒟 = {(n_{i}, U_{i}, f_{i})}_{i \in I}$ 는 다음과 같은 꼴의 순서쌍들의 집합이다.

$(n, U, f)$ 에서, $n \in ℕ$ 은 자연수이며, $U \subseteq ℝ^{n}$ 는 $n$ 차원 유클리드 공간의 열린집합이며, $f : U \to X$ 는 함수이다.

이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

임의의 유클리드 공간 $ℝ^{n}$ 의 열린집합 $U \subseteq ℝ^{n}$ 및 임의의 원소 $x \in X$ 에 대하여, $x$ 값의 상수 함수 $(n, U, f : U \to X)$ 는 $𝒟$ 의 원소이다.
임의의 유클리드 공간 $ℝ^{n}$ 의 열린집합 $U \subseteq ℝ^{n}$ 및 임의의 함수 $f : U \to X$ 에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, $(n, U, f) \in 𝒟$ 이다.
임의의 $u \in U$ 에 대하여, $(n, V, f ↾ V) \in 𝒟$ 인 $u$ 의 열린 근방 $u \in V \subseteq U$ 가 존재한다.
임의의 $(n, U, f) \in 𝒟$ 및 임의의 $V \subseteq ℝ^{m}$ 및 임의의 매끄러운 함수 $ϕ : V \to U$ 에 대하여, $(m, V, f \circ ϕ) \in 𝒟$ 이다.

미분학적 구조를 갖춘 집합을 미분학적 공간이라고 한다.

두 미분학적 공간 $(X, 𝒟)$ , $(Y, ℰ)$ 사이의 매끄러운 함수 $ϕ : X \to Y$ 는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

이를 통해 미분학적 공간의 범주를 정의할 수 있다.

미분학적 공간 $(X, 𝒟)$ 위에는 표준적인 위상을 줄 수 있으며, 이 경우 집합이 열린집합일 필요 충분 조건은 다음과 같다.

B \in Open (X) ⟺ \forall (n, U, f) \in 𝒟 : f^{- 1} (B) \in Open (ℝ^{n})

여기서 $Open (ℝ^{n})$ 은 $ℝ^{n}$ 의 열린집합들의 집합이다. 즉, 이 위상은 모든 함수 $f$ 들의 연속 함수가 되는 가장 섬세한 위상이다.

미분학적 공간의 범주는 준토포스를 이룬다.

미분학적 공간의 부분 집합은 표준적으로 미분학적 공간을 이룬다.

미분학적 공간의 몫집합은 표준적으로 미분학적 공간을 이룬다.

모든 $n$ 차원 매끄러운 다양체 $M$ 은 미분학적 공간이다. 이 경우 미분학적 구조는 $ℝ^{n}$ 의 열린집합에서 $M$ 으로 가는 모든 매끄러운 함수들의 집합이다. 보다 일반적으로, 모든 프레셰 다양체는 미분학적 공간이다.

1차원 유클리드 공간 $ℝ$ 의 몫

\frac{ℝ}{ℤ + α ℤ}

을 생각하자. 이는 미분학적 공간의 몫이므로 미분학적 공간을 이룬다. 만약 $α$ 가 유리수라면 이는 원과 동형이지만, 만약 무리수라면 이는 매끄러운 다양체가 아니다. 이 경우, 이는 위상 공간으로서 비이산 공간이나, 이는 자명하지 않은 미분학적 공간이다.

미분학적 공간의 개념은 장마리 수리오(틀:Llang, 1922〜2012)가 1979년에 도입하였다.^[2] ‘미분학적 공간’(틀:Llang)이라는 이름은 틀:Llang(미분 동형 사상)과 틀:Llang(위상 공간)의 합성어이다.