몰리 삼등분 정리

6개의 선분이 큰 삼각형의 세 각을 삼등분한다면 가운데에 위치한 삼각형의 세 변의 길이는 같다.

기하학에서 몰리 삼등분 정리(틀:Lang三等分定理, 틀:Llang)는 삼각형의 한 가지 경이로운 성질에 대한 정리이다. 이에 따르면, 임의의 삼각형의 각의 삼등분선의 이웃하는 것들끼리의 교점은 정삼각형의 꼭짓점을 이룬다.

정의

삼각형 $\mathrm{△}ABC$의 각 $\mathrm{\angle }B$와 $\mathrm{\angle }C$의 변 $BC$와 더 가까운 삼등분선의 교점이 $X$라고 하자. 마찬가지로 각 $\mathrm{\angle }A$와 $\mathrm{\angle }C$의 변 $AC$와 더 가까운 삼등분선의 교점이 $Y$라고 하고, 각 $\mathrm{\angle }A$와 $\mathrm{\angle }B$의 변 $AB$와 가까운 삼등분선의 교점이 $Z$라고 하자. 몰리 삼등분 정리에 따르면, 삼각형 $\mathrm{△}XYZ$는 정삼각형이다. 삼각형 $\mathrm{△}XYZ$를 삼각형 $\mathrm{△}ABC$의 몰리 삼각형(틀:Lang三角形, 틀:Llang)이라고 한다. 즉, 몰리 삼등분 정리는 임의의 삼각형의 몰리 삼각형은 정삼각형이라는 내용이다.

증명

초등적 증명

정삼각형 $\mathrm{△}XYZ$를 고정하자.틀:Rp 임의의 삼각형 $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 삼각형 $\mathrm{△}ABC$를 찾는 것으로 족하다.

• 삼각형 $\mathrm{△}ABC$와 $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$은 서로 닮음이다.
• 삼각형 $\mathrm{△}ABC$의 몰리 삼각형은 삼각형 $\mathrm{△}XYZ$이다.

우선

$\mathrm{\angle }{A}^{\prime }=3\alpha ,\mathrm{\angle }{B}^{\prime }=3\beta ,\mathrm{\angle }{C}^{\prime }=3\gamma$

이라고 하자. 그렇다면

$\alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }$

이다. 삼각형 $\mathrm{△}XYZ$ 외부의 세 점 $A,B,C$를 다음과 같이 정의하자.

$\mathrm{\angle }BZX=\mathrm{\angle }CYX=60^{\circ }+\alpha$

$\mathrm{\angle }CXY=\mathrm{\angle }AZY=60^{\circ }+\beta$

$\mathrm{\angle }AYZ=\mathrm{\angle }BXZ=60^{\circ }+\gamma$

그렇다면

$\mathrm{\angle }YAZ=\alpha ,\mathrm{\angle }XBZ=\beta ,\mathrm{\angle }XCY=\gamma$

이다. 이제 $AY$와 $AZ$, $BX$와 $BZ$, $CX$와 $CY$가 삼각형 $\mathrm{△}ABC$의 세 각의 삼등분선이라는 사실을 증명하자. 직선 $BZ$와 $CY$의 교점이 $U$라고 하고, 직선 $AZ$와 $CX$의 교점이 $V$라고 하고, 직선 $AY$와 $BX$의 교점을 $W$라고 하자. 그렇다면

$\mathrm{\angle }UYZ=\mathrm{\angle }UZY=60^{\circ }-\alpha$

이므로 $UY=UZ$이며, 삼각형 $\mathrm{△}UYX$와 $\mathrm{△}UZX$는 서로 합동이다. 특히, 반직선 $UX$는 각 $\mathrm{\angle }U$의 이등분선이다. 또한,

$\mathrm{\angle }BUC=180^{\circ }-\mathrm{\angle }UYZ-\mathrm{\angle }UZY=60^{\circ }+2\alpha$

$\mathrm{\angle }BXC=180^{\circ }-\mathrm{\angle }CXW=120^{\circ }+\alpha$

이므로,

$\mathrm{\angle }BXC=90^{\circ }+\frac{1}{2}\mathrm{\angle }BUC$

이다. 즉, $X$는 삼각형 $\mathrm{△}BCU$의 내심이며, 반직선 $BX$와 $CX$는 각 $\mathrm{\angle }CBU$와 $\mathrm{\angle }BCU$의 이등분선이다. 마찬가지로, 반직선 $AY$와 $CY$는 삼각형 $\mathrm{△}ACV$의 두 각의 이등분선이며, 반직선 $AZ$와 $BZ$는 삼각형 $\mathrm{△}ABW$의 두 각의 이등분선이다. 즉, 이 6개의 반직선은 모두 삼각형 $\mathrm{△}ABC$의 세 각의 삼등분선이며, 삼각형 $\mathrm{△}XYZ$는 삼각형 $\mathrm{△}ABC$의 몰리 삼각형이다. 또한,

$\mathrm{\angle }BAC=3\alpha =\mathrm{\angle }{A}^{\prime }$

$\mathrm{\angle }ABC=3\beta =\mathrm{\angle }{B}^{\prime }$

$\mathrm{\angle }ACB=3\gamma =\mathrm{\angle }{C}^{\prime }$

이므로, 삼각형 $\mathrm{△}ABC$와 $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$은 서로 닮음이다. 닮음은 직선을 보존하고 두 직선 사이의 각의 크기를 보존하며, 특히 각의 삼등분선을 각의 삼등분선으로, 정삼각형을 정삼각형으로 변환한다. 이에 의하여 원래 삼각형 $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$의 몰리 삼각형 역시 정삼각형이다.

삼각법을 통한 증명

몰리 삼각형의 세 변의 길이를 직접 구하여 증명할 수 있다.틀:Rp 삼각형 $\mathrm{△}ABC$의 외접원의 반지름이 $R$라고 하고,

$\mathrm{\angle }BAC=3\alpha ,\mathrm{\angle }ABC=3\beta ,\mathrm{\angle }ACB=3\gamma$

라고 하자. 그렇다면

$\alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }$

이다. 삼각형 $\mathrm{△}BCX$에 사인 법칙을 적용하면

$\begin{array}{cc}CX& =\frac{BC\cdot \sin \beta }{\sin (180^{\circ }-\beta -\gamma )}\\ & =\frac{2R\sin 3\alpha \sin \beta }{\sin (60^{\circ }-\alpha )}\\ & =8R\sin \alpha \sin \beta \sin (60^{\circ }+\alpha )\end{array}$

를 얻는다. 마지막 등호는 항등식

$\begin{array}{cc}\sin 3\alpha & =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha \\ & =4\sin \alpha ({\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\sin }^2\alpha )\\ & =4\sin \alpha (\sin 60^{\circ }+\sin \alpha )(\sin 60^{\circ }-\sin \alpha )\\ & =4\sin \alpha \cdot 2\sin \frac{60^{\circ }+\alpha }{2}\cos \frac{60^{\circ }-\alpha }{2}\cdot 2\sin \frac{60^{\circ }-\alpha }{2}\cos \frac{60^{\circ }+\alpha }{2}\\ & =4\sin \alpha \sin (60^{\circ }+\alpha )\sin (60^{\circ }-\alpha )\end{array}$

때문이다. 마찬가지로,

$CY=8R\sin \alpha \sin \beta \sin (60^{\circ }+\beta )$

가 성립한다. 삼각형 $\mathrm{△}CXY$에 코사인 법칙을 적용하면

$\begin{array}{cc}X{Y}^2& =C{X}^2+C{Y}^2-2CX\cdot CY\cdot \cos \gamma \\ & =64R^2{\sin }^2\alpha {\sin }^2\beta ({\sin }^2(60^{\circ }+\alpha )+{\sin }^2(60^{\circ }+\beta )-2\sin (60^{\circ }+\alpha )\sin (60^{\circ }+\beta )\cos \gamma )\\ & =64R^2{\sin }^2\alpha {\sin }^2\beta {\sin }^2\gamma \end{array}$

를 얻는다. 마지막 등호는 세 각의 크기가 $60^{\circ }+\alpha$와 $60^{\circ }+\beta$ 및 $\gamma$인 삼각형에 코사인 법칙을 적용한 결과이다. 즉,

$XY=8R\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

이다. 이는 $\alpha ,\beta ,\gamma$에 대하여 대칭적이므로,

$XY=XZ=YZ$

가 성립한다.

역사

미국의 수학자 프랭크 몰리가 1900년에 제시하였다.

같이 보기

• 나폴레옹 정리

외부 링크

• 틀:매스월드