멱영 공간

틀:위키데이터 속성 추적 호모토피 이론에서 멱영 공간(冪零空間, 틀:Llang)은 기본군이 멱영군이며 고차 호모토피 군에 특별히 간단하게 작용하는 위상 공간이다. 멱영 공간의 경우 유리수 호모토피 이론을 깔끔하게 전개할 수 있다.

정의

점을 가진 공간 $(X,\bullet )$가 주어졌다고 하자. 이 경우, 기본군 ${\pi }_1(X,\bullet )$은 고차 호모토피 군 ${\pi }_n(X,\bullet )$ 위에 다음과 같이 작용한다. 우선, $\{\bullet \}\hookrightarrow {𝕊}^n$은 쌍대올뭉치이므로, 호모토피 확장 성질을 사용하여 임의의 경로

$\{\bullet \}\times [0,1]\to X$

$(\bullet ,0)\mapsto {\bullet }_X$

$(\bullet ,1)\mapsto {{\bullet }_X}^{\prime }$

및 호모토피 군의 원소

$f:({𝕊}^n,{\bullet }_{{𝕊}^n})\to (X,{\bullet }_X)$

$[f]\in {\pi }_n(X,{\bullet }_X)$

에 대하여 호모토피류

$f^{\prime }:({𝕊}^n,{\bullet }_{{𝕊}^n})\to (X,{{\bullet }_X}^{\prime })$

$[f^{\prime }]\in {\pi }_n(X,{{\bullet }_X}^{\prime })$

를 유일하게 정의할 수 있다. 만약 ${{\bullet }_X}^{\prime }={\bullet }_X$인 경우 위와 같은 경로의 호모토피류는 기본군 ${\pi }_1(X,\bullet )$의 원소이므로, 이는 군의 작용

${\pi }_1(X,\bullet )\times {\pi }_n(X,\bullet )\to {\pi }_n(X,\bullet )$

을 정의한다.

주어진 점을 가진 공간 $(X,{\bullet }_X)$에서, 만약 각 $i\in \mathbb{N}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 유한한 길이의 호모토피 군 중심열

${\pi }_i(X,{\bullet }_X)=G_1^i⊳G_2^i⊳\cdots ⊳G_{n_i}^i=1$

이 존재한다면, $(X,{\bullet }_X)$를 멱영 공간이라고 한다.

• 임의의 $i\in \mathbb{N}$ 및 $1\le j\le n_i$에 대하여, ${\pi }_1(X,{\bullet }_X)\cdot G_j^i\subseteq G_{j+1}^i$이다. 즉, ${\pi }_1(X,{\bullet }_X)$의 $G_j^i/G_{j+1}^i$ 위의 작용은 자명하다.

(특히, $i=1$인 경우의 조건은 기본군 ${\pi }_1(X,{\bullet }_X)$이 멱영군인 것이다.)

마찬가지로, 주어진 점을 가진 공간 $(X,{\bullet }_X)$에서, 만약 기본군 ${\pi }_1(X,{\bullet }_X)$의, 임의의 차수 호모토피 군에 대한 작용이 모두 자명하다면, $(X,{\bullet }_X)$를 단순 공간(單純空間, 틀:Llang)이라고 한다. (특히, $i=1$인 경우의 조건에 따라 기본군 ${\pi }_1(X,{\bullet }_X)$아 아벨 군이어야 한다.)

성질

모든 단순 공간은 멱영 공간이다. 단일 연결 공간은 (기본군이 자명군이므로) 항상 단순 공간이다.

역사

에마누엘 드로르 파르준(틀:Llang, 틀:Llang)이 도입하였다.

예

홀수 차원 실수 사영 공간은 멱영 공간이다. 그러나 (예를 들어) 실수 사영 평면은 멱영 공간이 아니다.

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
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