멀티심플렉틱 다양체

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 멀티심플렉틱 다양체(multisymplectic多樣體, 틀:Llang)는 임의의 0이 아닌 벡터장과의 내부곱이 0이 아닌 닫힌 미분 형식을 갖춘 매끄러운 다양체이다.틀:Rp 심플렉틱 다양체와 부피 형식의 개념의 공통적인 일반화이다.

정의

자연수 $k\in \mathbb{N}$가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 $M$ 위의 $k$차 멀티심플렉틱 구조(틀:Llang)

$\omega \in {\mathrm{\Omega }}^{k+1}(M)$

은 다음과 같은 성질을 갖는 $k+1$차 닫힌 미분 형식이다.

• 임의의 점 $x\in M$ 및 접벡터 $v\in {\mathrm{T}}_{x}M\setminus \{0\}$에 대하여, $v⌟{\omega }_x\ne 0\in {\bigwedge }^k{\mathrm{T}}_x^{*}M$이다.

여기서

$⌟:{\mathrm{T}}_{x}M\times {\bigwedge }^{k+1}{\mathrm{T}}^{*}M\to {\bigwedge }^k{\mathrm{T}}^{*}M$

는 $x$에서, 접벡터와 미분 형식의 내부곱이다.

$k$차 멀티심플렉틱 다양체(틀:Llang) $(M,\omega )$는 매끄러운 다양체와 그 위의 $k$차 멀티심플렉틱 구조의 순서쌍이다.

성질

$n$차원 매끄러운 다양체 위에 $k$차 멀티심플렉틱 구조가 존재할 필요 조건은 다음과 같다.

$k+1\le n\le (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$

여기서 첫째 부등식은 자명하지 않은 $k+1$차 미분 형식이 존재할 필요 조건이며, 둘째 부등식은 ${\bigwedge }^k{\mathrm{T}}_x^{*}M$의 차원이 ${\mathrm{T}}_{x}M$의 차원보다 작지 않을 조건이다.

일반적으로, $n\ge 6$차원 매끄러운 다양체 위에는 2차〜$n-4$차 멀티심플렉틱 구조가 항상 존재한다.틀:Rp

멀티심플렉틱 다양체에 대응되는 L_∞-대수

$k$차 멀티심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$ 위의 해밀토니언 미분 형식(틀:Llang)은 다음 조건을 만족시키는 $k-1$차 미분 형식 $\alpha \in {\mathrm{\Omega }}^{k-1}(M)$이다.

$\mathrm{\exists }X\in \mathrm{Vect}(M):\mathrm{d}\alpha =X⌟\omega$

그 공간을 ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{Ham}}^{k-1}(M)$이라고 하자.

이제, 등급 벡터 공간

$L=\underset{i=0}{\overset{n-1}{⨁}}{L}_i$

$L_0={\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{Ham}}^{k-1}(M)$

$L_i={\mathrm{\Omega }}^{k-1-i}(M)(i\in \{1,2,\dots ,n-1\}$

위에 다음과 같은 L∞-대수의 구조를 줄 수 있다.틀:Rp

$[\alpha ]=\mathrm{d}\alpha \mathrm{\forall }\alpha \in L,\mathrm{deg}\alpha >0$

$[{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_p]=(-{)}^{1+\lceil p/2\rceil }(X_1\wedge \cdots \wedge X_p)⌟\omega ({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k\in {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{Ham}}^{k-1}(M),\mathrm{\forall }i:\mathrm{d}{\alpha }_i=X_i⌟\omega )$

연산

(서로 다른 차원일 수 있는) 두 $k$차 멀티심플렉틱 다양체 $(M_1,{\omega }_1)$, $(M_2,{\omega }_2)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱공간

$M=M_1\times M_2$

${\pi }_i:M\twoheadrightarrow M_i$

에 대하여,

$\omega ={\pi }_1^{*}{\omega }_1+{\pi }_2^{*}{\omega }_2$

를 정의하자. 만약 $k\ge 1$이라면, 이는 $M$ 위의 $k$차 멀티심플렉틱 구조를 이룬다.

증명:

임의의 $x=(x_1,x_2)\in M$에서, 접벡터

$v=(v_1,v_2)\in {\mathrm{T}}_{x}M={\mathrm{T}}_{x_1}{M}_1\oplus {\mathrm{T}}_{x_2}{M}_2$

에 대하여,

$v⌟\omega =v_1⌟{\omega }_1+v_2⌟{\omega }_2$

이다. $k>0$이라면, 이 두 항은 서로 다른 벡터 공간에 속하므로, 합이 0일 필요 충분 조건은 각 항이 0인 것이다. 그런데 $M_1$과 $M_2$가 각각 $k$차 멀티심플렉틱 다양체이므로, 이것이 0일 필요 충분 조건은 $v_1$과 $v_2$가 각각 0인 것이다.

예

0차 멀티심플렉틱 다양체는 1차원에서만 존재하며, 그 개념은 부피 형식을 갖춘 1차원 매끄러운 다양체와 같다.

1차 멀티심플렉틱 다양체의 개념은 심플렉틱 다양체의 개념과 같다.

$n$차원 $n-1$차 멀티심플렉틱 다양체의 개념은 부피 형식이 주어진 $n$차원 매끄러운 다양체의 개념과 같다.

리 군

콤팩트 단순 리 군이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위에는 표준적인 3차 미분 형식이 존재하며, 그 계수는 리 대수의 구조 상수이다. 이를 통하여 콤팩트 단순 리 군은 2차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다. 마찬가지로, 콤팩트 단순 리 대수는 2차 멀티심플렉틱 벡터 공간을 이룬다.

$G$의 실수 리 대수를

$𝔤=𝔩𝔦𝔢(G)$

라고 하자. 그렇다면, 끈 L₂-대수(틀:Llang)

$𝔰𝔱𝔯𝔦𝔫𝔤(𝔤)=𝔤\oplus ℝ[1]$

$[x,y,z]=\mu (x,y,z)\in ℝ[1]\mathrm{\forall }x,y,z\in 𝔤$

를 정의할 수 있다.

2-멀티심플렉틱 다양체 $G$에 대응되는 L₂-대수

$L(G)={\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{Ham}}^1(G)\oplus {\mathrm{\Omega }}^0(G)[1]$

를 생각하자. $G$는 스스로 위에 왼쪽 곱셈으로 작용하며, 이에 대한 불변 L₂-대수

$L(G{)}^G={\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{Ham}}^1(G{)}^G\oplus {\mathrm{\Omega }}^0(G{)}^G[1]$

를 적을 수 있다. 여기서 표준적으로

${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{Ham}}^1(G{)}^G\cong {𝔤}^{*}\cong 𝔤$

${\mathrm{\Omega }}^0(G{)}^G\cong ℝ$

이며, 따라서 이는 끈 L₂-대수와 동형이다.

특수 홀로노미

홀로노미가 리 군 G₂인 7차원 리만 다양체는 표준적으로 2차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다.

초켈러 다양체의 세 심플렉틱 구조 ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3$이 주어졌을 때

${\omega }_1\wedge {\omega }_1+{\omega }_2\wedge {\omega }_2+{\omega }_3\wedge {\omega }_3$

은 그 위의 3차 멀티심플렉틱 구조를 이룬다.틀:Rp

공변접다발의 외대수

매끄러운 다양체 $M$이 주어졌을 때, 그 공변접다발의 $k$차 외대수

${\bigwedge }^k{\mathrm{T}}^{*}M$

을 생각하자. 그 위에는 표준적인 $k$차 미분 형식

$\theta \in {\mathrm{\Omega }}^k\left({\bigwedge }^k{\mathrm{T}}_x^{*}M\right)$

$\theta {|}_{(x,p)}=p_{i_1\dots i_k}\mathrm{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i_k}(x\in M,p\in {\bigwedge }^k{\mathrm{T}}_x^{*}M)$

이 존재한다. 그 외미분

$\omega =\mathrm{d}\theta \in {\mathrm{\Omega }}^{k+1}\left({\bigwedge }^k{\mathrm{T}}_x^{*}M\right)$

$\omega {|}_{(x,p)}=\mathrm{d}{p}_{i_1\dots i_k}\mathrm{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i_k}(x\in M,p\in {\bigwedge }^k{\mathrm{T}}_x^{*}M)$

은 $n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$차원 매끄러운 다양체 ${\bigwedge }^k{\mathrm{T}}^{*}M$ 위의 $k$차 멀티심플렉틱 구조를 정의한다.틀:Rp

시그마 모형

다음이 주어졌다고 하자.

• $m$차원 매끄러운 다양체 $M$
• $k$차원 매끄러운 다양체 $\mathrm{\Sigma }$
• $\mathrm{\Sigma }$ 위의 부피 형식 $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^k(\mathrm{\Sigma })$

그렇다면 벡터 다발

$\mathrm{T}\mathrm{\Sigma }{\otimes }_{M\times \mathrm{\Sigma }}{\mathrm{T}}^{*}M$

의 전체 공간의 국소 좌표를

$(x^{\mu },{\varphi }^i,{\pi }_i^{\mu })(x\in \mathrm{\Sigma },\varphi \in M,\pi \in {\mathrm{T}}_x\mathrm{\Sigma }\otimes {\mathrm{T}}_x^{*}M)$

위에 다음과 같은 구조를 생각하자.

$\theta ={\pi }_i^{\mu }\mathrm{d}{\varphi }^i\wedge \frac{\partial }{\partial x^{\mu }}⌟\omega$

이는 $k$차 미분 형식을 이룬다. 그 외미분

$\mathrm{d}\theta =\mathrm{d}{\pi }_i^{\mu }\mathrm{d}{\varphi }^i\wedge \frac{\partial }{\partial x^{\mu }}⌟\omega$

은 $k+1$차 미분 형식이며, 만약 $k\ge 2$일 경우 $k$차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다.

증명:

임의의

$x\in \mathrm{\Sigma }$

$\varphi \in M$

$v^{\mu }\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}\in {\mathrm{T}}_x\mathrm{\Sigma }$

${\chi }^i\frac{\partial }{\partial {\varphi }^i}\in {\mathrm{T}}_{\varphi }M$

${\nu }_{\mu }^i\mathrm{d}{\pi }_i^{\mu }\in {\mathrm{T}}_{\varphi }M\otimes {\mathrm{T}}_x^{*}N$

에 대하여,

$(v,\chi ,\nu )⌟\mathrm{d}\theta =\mathrm{d}{\pi }_i^{\mu }\wedge \mathrm{d}{\varphi }^i\wedge v^{\nu }{\psi }_{\nu \mu }-{\chi }^i\mathrm{d}{\pi }_i^{\mu }\wedge {\psi }_{\mu }+{\nu }_i^{\mu }\mathrm{d}{\varphi }^i\wedge {\psi }_{\mu }$

이다. 여기서 편의상

${\psi }_{\mu }=\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}⌟\omega$

${\psi }_{\mu \nu }=\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}⌟\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}⌟\omega$

으로 정의하였다. $k\ge 2$일 경우 ${\psi }_{\nu \mu }\ne 0$이게 된다. 즉, 이 경우, 위 표현이 0이 될 필요 충분 조건은 $v$와 $\chi$와 $\nu$가 각각 0인 것이다.

이 구성은 $\mathrm{\Sigma }\to M$ 시그마 모형의 공변 위상 공간(틀:Llang)으로 해석할 수 있다. 이 경우 좌표 ${\pi }_i^{\mu }$는 일반화 운동량에 해당한다.

외부 링크

• 틀:Nlab
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