리 쌍대대수

틀:위키데이터 속성 추적 리 대수 이론에서, 리 쌍대대수(Lie雙對代數, 틀:Llang)는 리 대수의 정의를 쌍대화하여 얻어지는 쌍대대수이다.

정의

가환환 $K$ 위의 리 쌍대대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $K$-가군 $V$
• $K$-가군 준동형 $\mathrm{d}:V\to V\wedge V$

여기서

$V\wedge V=\frac{V\otimes V}{(u\otimes u:u\in V)}$

는 외대수의 2차 성분이다. 이를 외대수 $\bigwedge V$ 위에 다음과 같은 곱 규칙을 따르는 미분으로 유일하게 확장할 수 있다.

$\mathrm{d}:{\bigwedge }^{\bullet }V\to {\bigwedge }^{\bullet +1}V$

$\mathrm{d}(a\wedge b)=(\mathrm{d}a)\wedge b+(-{)}^{\mathrm{deg}a}a\wedge \mathrm{d}b$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• $({\bigwedge }^{\bullet }V,\mathrm{d})$는 공사슬 복합체를 이룬다. 즉, $\mathrm{d}\circ \mathrm{d}=0$이어야 한다.

리 괄호를 통한 정의

만약 $K$가 표수 2 또는 표수 3이 아닌 체이며, $V$가 유한 차원 $K$-벡터 공간이라고 할 때, 다음 두 데이터가 서로 동치이다.

• $V$ 위의 리 쌍대대수 구조 $\mathrm{d}$
• $V^{*}$ 위의 리 대수 구조 $[-,-]$

구체적으로, 이들 사이의 관계는 다음과 같다.

$⟨a|[x,y]⟩=⟨\mathrm{d}a|x\wedge y⟩$

여기서 $⟨-|-⟩$은 $\bigwedge E$와 그 등급별 쌍대 공간 사이의 내적이다.

리 준쌍대대수

리 준쌍대대수(Lie準雙對代數, 틀:Llang)는 다음과 같다.

• 매끄러운 다양체 $M$
• (유한 차원) 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$
• $\bullet \bigwedge E$ 위의 미분을 정의하는 벡터 다발 사상 $\mathrm{d}:E\to E{\wedge }_{M}E$. 이는 ${\bigwedge }^{\bullet }E$ 위의 공사슬 복합체 구조를 정의하여야 한다.

이는 쌍대화를 통하여 $E^{*}$ 위의 리 준대수 구조와 동치이다.

예

매끄러운 다양체 $M$ 위의 공변접다발 ${\mathrm{T}}^{*}M$은 리 준쌍대대수를 이루며, 그 쌍대괄호는 1차 미분 형식의 외미분이다. 이는 미분 형식들의 공사슬 복합체

$(\mathrm{\Omega }(M),\mathrm{d})$

를 정의한다.

참고 문헌

• 틀:저널 인용