르장드르 변환

르장드르 변환(Legendre變換, 틀:Llang)은 볼록함수를 다른 볼록함수로 변환하는 연산이다. 대략 한 좌표에 대하여 자연스러운 함수를, 이에 대응하는 운동량 좌표에 대하여 자연스러운 함수로 바꾸는 것으로 생각할 수 있다. 르장드르 변환은 스스로의 역이다. 즉, 어떤 함수에 르장드르 변환을 두 번 가하면 다시 원래 함수를 얻는다.

정의

벡터 공간 $V$ 속의 볼록집합 $A\subset X$ 위에 연속 볼록함수 $f:X\to ℝ$가 주어졌다고 하자. $f$의 도함수의 상 $A^{\star }=\mathrm{\nabla }f(A)$을 정의하자. 그렇다면 $f$의 르장드르 변환

$f^{\star }:A^{\star }\to ℝ$

은 다음과 같다.

$f^{\star }(x^{\star })=\underset{x\in A}{\sup }\{x^{\star }x-f(x)\}$

만약 $f$가 연속미분가능이라면, 그 도함수의 역함수를 정의할 수 있다.

$f^{\prime }(x)=x^{\star }\iff x=(f^{\prime }{)}^{-1}(x^{\star })$

그렇다면 $f^{\star }(x^{\star })$는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$f^{\star }(x^{\star })=x^{\star }x-f(x)=(f^{\prime }{)}^{-1}(x^{\star })x^{\star }-f((f^{\prime }{)}^{-1}(x^{\star }))$

성질

르장드르 변환은 스스로의 역이다. 즉,

$\frac{d{f}^{\star }}{d{x}^{\star }}=x+x^{\star }\frac{dx}{d{x}^{\star }}-\frac{df}{dx}\frac{dx}{d{x}^{\star }}=x$

이므로,

$f^{\star \star }(x)=x{x}^{\star }-f^{\star }(x^{\star })=x{x}^{\star }-(x{x}^{\star }-f(x))=f(x)$

이다.

예

$f(x)$	$\mathrm{dom}f$	$f^{\star }(x^{\star })$	$\mathrm{dom}{f}^{\star }$	조건
$af(x)$	$\mathrm{dom}f$	$a{f}^{\star }(x^{\star }/a)$	$a\cdot \mathrm{dom}{f}^{\star }$	$a>0$
$f(ax)$	$a^{-1}\cdot \mathrm{dom}f$	$f^{\star }(x^{\star }/a)$	$a\cdot \mathrm{dom}{f}^{\star }$	$a>0$
$f(x)+a$	$\mathrm{dom}f$	$f^{\star }(x^{\star })-a$	$\mathrm{dom}{f}^{\star }$	$a\in ℝ$
$f(x-a)$	$a+\mathrm{dom}f$	$f^{\star }(x^{\star })+a{x}^{\star }$	$\mathrm{dom}{f}^{\star }$	$a\in ℝ$
$f(x)+ax$	$\mathrm{dom}f$	$f^{\star }(x^{\star }-a)$	$a+\mathrm{dom}{f}^{\star }$	$a\in ℝ$
$f(x)+g(x)$	$\mathrm{dom}f\cap \mathrm{dom}g$	$(f^{\star }{\star }_{\text{inf}}{g}^{\star })(x^{\star })$	$\mathrm{dom}{f}^{\star }+\mathrm{dom}{g}^{\star }$	$(f{\star }_{\text{inf}}g)(x)=\underset{y}{\inf }\{f(x-y)+g(y)\}$
$(f{\star }_{\text{inf}}g)(x)$	$\mathrm{dom}f+\mathrm{dom}g$	$f^{\star }(x^{\star })+g^{\star }(x^{\star })$	$\mathrm{dom}{f}^{\star }\cap \mathrm{dom}{g}^{\star }$	$(f{\star }_{\text{inf}}g)(x)=\underset{y}{\inf }\{f(x-y)+g(y)\}$
$ax+b$	$ℝ$	$-b$	$\{a\}$
$|x{|}^p/p$	$ℝ$	$|x^{\star }{|}^{p^{\star }}/p^{\star }$	$ℝ$	$1/p+1/p^{\star }=1$, $p>1$
$-x^p/p$	$[0,\mathrm{\infty })$	$-|x^{\star }{|}^{p^{\star }}/p^{\star }$	$(-\mathrm{\infty },0]$	$1/p+1/p^{\star }=1$, $p<1$
$\exp (x)$	$ℝ$	$x^{\star }(\ln (x^{\star })-1)$	${ℝ}^{+}$
$x\ln (x)$	${ℝ}^{+}$	$\exp (x-1)$	$ℝ$
$-1/2-\ln x$	${ℝ}^{+}$	$-1/2-\ln |x^{\star }|$	${ℝ}^{-}$
$x\exp (x+1)$	$ℝ$	$x^{\star }(W(x^{\star })-1{)}^2/W(x^{\star })$	$[-1/e,\mathrm{\infty })$	$W$는 람베르트 W 함수

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드

같이 보기

• 영의 부등식