대응 정리

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서, 대응 정리(틀:Llang)는 또는 제4 동형 정리(틀:Llang) 또는 격자 정리(틀:Llang)는 몫 대수 구조의 합동 관계들을 묘사하는 정리이다.

정의

대수 구조 $A$와 그 위의 합동 관계 $\sim \in \mathrm{Cong}(A)$가 주어졌다고 하자. 대응 정리에 따르면, 다음 두 격자는 동형이다.틀:Rp

• 몫 대수 위의 합동 관계들의 격자 $\mathrm{Cong}(A/\sim )$
• $A$의 합동 관계들 가운데, $\sim$에 의하여 함의되는 것들의 격자 $\uparrow \sim =\{{\sim }^{\prime }\in \mathrm{Cong}(A):\mathrm{\forall }a,b\in A:a\sim b⟹a{\sim }^{\prime }b\}$. 이는 $A$의 합동 관계 격자 $\mathrm{Cong}(A)$의 부분 격자를 이룬다.

두 격자 사이의 동형 사상은 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

$\uparrow \sim \to \mathrm{Cong}(A/\sim )$

$\sim \text{'}\mapsto {\sim }^{\prime }/\sim$

여기서 $\sim \text{'}/\sim$은 다음과 같은 $A/\sim$ 위의 이항 관계다.

$[a{]}_{\sim }{\sim }^{\prime }/\sim [b{]}_{\sim }⟺a{\sim }^{\prime }b$

즉, 대응 정리에 따르면, 다음 명제들이 성립한다.

• 만약 $\sim \text{'}$이 $\sim$을 포함하는 $A$ 위의 합동 관계라면, $\sim \text{'}/\sim$은 $A/\sim$ 위의 합동 관계이다.
• $A/\sim$ 위의 모든 합동 관계는 어떤 $\sim$을 포함하는 $A$ 위의 합동 관계 $\sim \text{'}$에 대하여 $\sim \text{'}/\sim$의 꼴로 나타낼 수 있다.
• $\sim$을 포함하는 $A$ 위의 합동 관계 ${\sim }_1,{\sim }_2\in \uparrow \sim$에 대하여, 다음이 성립한다.
  • $a{\sim }_{1}b$가 $a{\sim }_{2}b$를 함의하는 것과 $a{\sim }_1/\sim b$는 $a{\sim }_2/\sim b$를 함의하는 것은 서로 필요충분조건이다.
  • $({\sim }_1\vee {\sim }_2)/\sim ={\sim }_1/\sim \vee {\sim }_2/\sim$. 여기서 ${\sim }_1\vee {\sim }_2$는 ${\sim }_1$과 ${\sim }_2$로 생성되는 합동 관계이다.
  • $({\sim }_1\cap {\sim }_2)/\sim ={\sim }_1/\sim \cap {\sim }_2/\sim$. 여기서 ${\sim }_1\cap {\sim }_2$는 $a{\sim }_1\cap {\sim }_{2}b⟺a{\sim }_{1}b\wedge a{\sim }_{2}b$로 정의된다.

예

대응 정리는 모든 종류의 대수 구조에 적용할 수 있다. 군, 환, 가군 등 일부 대수 구조의 경우, 합동 관계가 특별한 부분 대수와 일대일 대응하며, 대응 정리에 등장하는 동형 사상을 몫 대수의 부분 대수에 대하여 확장할 수 있다.

군

군 $G$ 및 정규 부분군 $N⊲G$에 대하여, $N$을 포함하는 $G$의 부분군의 격자와 몫군의 부분군들의 격자 사이의 함수

$\uparrow N=\{H\le G:N\subseteq H\}\to \mathrm{Sub}(G/N)$

$H\mapsto H/N=\{hN:h\in H\}$

를 생각하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

• $H\mapsto H/N$은 격자의 동형 사상이다. 즉,
  • 임의의 $N\le H\le G$에 대하여, $H/N\le G/N$
  • 임의의 $K\le G/N$에 대하여, $K=H/N$인 $N\le H\le G$가 존재한다.
  • 임의의 $N\le H,K\le G$에 대하여,
    • $H\le K$일 필요충분조건은 $H/N\le K/N$이다.
    • $⟨H\cup K⟩/N=⟨H/N\cup K/N⟩$. 여기서 $⟨H\cup K⟩$는 $H\cup K$로 생성된 부분군이다.
    • $(H\cap K)/N=H/N\cap K/N$
• $H⊲G$일 필요충분조건은 $H/N⊲G/N$이다.

환

환 $R$ 및 아이디얼 $𝔞\subset R$에 대하여, $𝔞$를 포함하는 부분군의 격자와 몫환의 부분환 격자 사이의 함수

$\uparrow 𝔞=\{S\in \mathrm{Sub}(R):𝔞\subset S\}\to \mathrm{Sub}(R/𝔞)$

$S\mapsto S/𝔞=\{s+𝔞:s\in S\}$

를 생각하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

• $S\mapsto S+𝔞$는 격자의 동형 사상이다. 즉,
  • 임의의 부분환 $𝔞\subset S\subset R$에 대하여, $S/𝔞$는 $R/𝔞$의 부분환이다.
  • 임의의 부분환 $T\subset R/𝔞$에 대하여, $T=S/𝔞$인 부분환 $𝔞\subset S\subset R$가 존재한다.
  • 임의의 부분환 $𝔞\subset S,T\subset R$에 대하여,
    • $S\subset T$일 필요충분조건은 $S/𝔞\subset T/𝔞$이다.
    • $⟨S\cup T⟩/𝔞=⟨S/𝔞\cup T/𝔟⟩$. 여기서 $⟨S\cup T⟩$는 $S\cup T$로 생성된 부분환이다.
    • $(S\cap T)/𝔞=S/𝔞\cap T/𝔞$
• $S$가 $R$의 아이디얼일 필요충분조건은 $S/𝔞$가 $R/𝔞$의 아이디얼인 것이다.

가군

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $M$ 및 부분 가군 $N\subset M$에 대하여, $N$을 포함하는 부분 가군의 격자와 몫 가군의 부분 가군 격자 사이의 함수

$\uparrow N=\{N^{\prime }\in \mathrm{Sub}(M):N\subset N^{\prime }\}\to \mathrm{Sub}(M/N)$

$N^{\prime }\mapsto N^{\prime }/N=\{m+N:m\in N^{\prime }\}$

는 격자의 동형 사상이다. 즉, 다음이 성립한다.

• 임의의 부분 가군 $N\subset N^{\prime }\subset M$에 대하여, $N^{\prime }/N$는 $M/N$의 부분 가군이다.
• 임의의 부분 가군 $N^{″}\subset M/N$에 대하여, $N^{″}=N^{\prime }/N$인 부분 가군 $N\subset N^{\prime }\subset M$가 존재한다.
• 임의의 부분 가군 $N\subset N^{\prime },N^{″}\subset M$에 대하여,
  • $N^{\prime }\subset N^{″}$일 필요충분조건은 $N^{\prime }/N\subset N^{″}/N$이다.
  • $(N^{\prime }+N^{″})/N=N^{\prime }/N+N^{″}/N$
  • $(N^{\prime }\cap N^{″})/N=N^{\prime }/N\cap N^{″}/N$

같이 보기

• 모듈러 격자