꼭짓점 연산자 대수

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 꼭짓점 연산자 대수(-點演算子代數, 틀:Llang)는 등각 장론의 특정 국소적 연산자와 유사한 구조를 지니는 수학적 구조이다. 대략, 벡터를 행렬의 로랑 급수에 대응시키는 연산을 지닌 벡터 공간이다. 리 대수에서, 구조 상수를 로랑 급수로 일반화한 것으로도 생각할 수 있다.

정의

꼭짓점 연산자 대수(틀:Lang) $(V, Y, 1, ω)$ 는 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다.

$V = ⨁_{n = k}^{\infty} V_{n}$ 는 정수 차수 붙은(틀:Lang) 복소 벡터 공간이다. 각 차수 부분공간 $V_{n} < \infty$ 은 유한 차원이다. $k$ 는 임의의 정수다.
$Y : V \otimes V \to V ((z))$ 는 $V \otimes V$ 에서 형식적 로랑 급수 $V ((z))$ 로 가는 선형 사상이다. 이는 $Y : V \to (End V) ((z))$ 로도 생각할 수 있다. 즉, 일종의 곱셈 연산이다. 이를 상태-연산자 사상(틀:Lang)이라고 한다. 편의상 $a \in V$ 이면 $Y (a) (z) = \sum_{n \in ℤ} a_{n} z^{- n - 1}$ 으로 표기한다. 여기서 $a_{n} \in End V$ 이다. 간혹 $a \in V$ 에 대하여, $Y$ 를 생략하고 $a (z) = Y (a) (z) \in End ((z))$ 로 쓰기도 한다.
$1 \in V_{0}$ 는 벡터 공간의 한 원소다. 이를 진공 상태라고 한다.
$ω \in V_{2}$ 는 등각 상태(틀:Lang)이다. 통상적으로 $L_{n} = ω_{n + 1}$ 으로 표기한다.

이는 다음과 같은 공리를 만족하여야 한다.

(차수의 성질) $a \in V_{i}$ , $b \in V_{j}$ 이면 $a_{n} b \in V_{i + j - n - 1}$ 이다. 또한, $a \in V_{n}$ 이면 $L_{0} a = n a$ 이다.
(진공의 성질) $1 (z)$ 는 단위 연산자이다. 또한, 모든 $a \in V$ 에 대하여 $a_{- 1} 1 = a$ 이다.
모든 $a, b \in V$ 에 대하여, $n$ 이 충분히 크다면 $a_{n} b = 0$ 이다.
(병진 연산자의 표현) 임의의 $a \in V$ 에 대하여, $(L_{- 1} a) (z) = (d / d z) a (z)$ 이다.
(비라소로 대수) $[L_{m}, L_{n}] = (m - n) L_{m + n} + δ_{m + n, 0} (m^{3} - m) c / 12$ . 여기서 $c \in ℂ$ 는 비라소로 대수의 중심 전하(틀:Lang)라고 한다.
(야코비 항등식) $z^{- 1} δ ((x - y) / z) a (x) b (y) - z^{- 1} δ ((x - y) / z) b (y) a (x) = y^{- 1} δ ((x - z) / y) (a (z) b) (y)$ . 여기서 $δ (z) = \sum_{n \in ℤ} z^{n}$ 은 디랙 델타 함수다.