기본 동치

틀:위키데이터 속성 추적 모형 이론에서 기본 동치(基本同値, 틀:Llang)는 두 구조가 같은 1차 논리 문장들을 만족시키는 관계이다.

정의

같은 언어의 구조 $M$ , $N$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 만약 이 조건이 성립하면 $M$ 과 $N$ 이 서로 기본 동치라고 한다.

(문장이란 자유 변수를 포함하지 않는 공식을 의미한다.)

같은 언어에 대한 구조 $M$ 과 $N$ 사이의 기본 매장(基本埋藏, 틀:Llang)은 다음 성질을 만족시키는 함수

j : M \to N

이다.

$k$ 개의 자유 변수 $\vec{x}$ 를 갖는 임의의 1차 논리 공식 $ϕ$ 및 임의의 $\vec{m} \in M^{k}$ 에 대하여, 만약 $M ⊨ ϕ [\vec{m} / \vec{x}]$ 라면 $N ⊨ ϕ [j (\vec{m}) / \vec{x}]$ 이다.

만약 $M \subset N$ 이고 부분 집합 포함 함수가 기본 매장을 이룬다면, $M$ 이 $N$ 의 기본 부분 구조(基本部分構造, 틀:Llang)라고 한다.

구조의 기본 동치는 동치 관계이다.

기본 매장은 다음 성질들을 만족시킨다.

단사 함수이다. 이는 1차 논리가 등호를 포함하며, 따라서 $m_{1} \neq m_{2} ⟹ j (m_{1}) \neq j (m_{2})$ 이기 때문이다.
강준동형사상이다.
기본 동치이다.

같은 언어에 대한 두 구조 $M$ , $N$ 에 대하여, $M \subset N$ 이라면 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$M$ 은 $N$ 의 기본 부분 구조이다.
(타르스키-보트 조건 틀:Llang) 임의의 $k + 1$ 개 자유 변수를 갖는 1차 논리 공식 $ϕ (x, \vec{y})$ 및 $\vec{b} \in N^{k}$ 에 대하여, $N ⊨ ϕ (a, \vec{b})$ 인 $a \in M$ 이 존재한다.

워시 정리에 따라, 어떤 모형 $M$ 과 그 초거듭제곱 $M^{n} / 𝒰$ 은 서로 기본 동치이다.

하나의 이항 관계 $⟨ \leq ⟩$ 의 구조로서, 유리수의 집합 $ℚ$ 및 실수의 집합 $ℝ$ 는 서로 기본 동치이다. 그러나 이들은 순서체의 언어 $⟨ +, \cdot, -, 0, 1, \leq ⟩$ 의 구조로는 서로 기본 동치가 아니다.

실수체 $ℝ$ 와 초실수체 $* ℝ$ 는 순서체의 언어의 구조로서 서로 기본 동치이다.