구보-마틴-슈윙거 상태

바르샤바 대학교의 한 벽면에 새겨진 구보-마틴-슈윙거 조건 (中, “틀:Lang”)

함수해석학과 양자역학에서 구보-마틴-슈윙거 상태([久保]-Martin-Schwinger狀態, 틀:Llang, 약자 KMS 상태)는 특정하게 열역학적 평형을 이룬 순수 또는 혼합 상태이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• C* 대수 $𝒜$ (“관측 가능량 대수”)
• 상태 $\varphi :𝒜\to ℂ$
• 양의 실수 $\beta \in {ℝ}^{+}$ (“온도의 역수”)
• 군 준동형 $\alpha :(ℝ,+)\to \mathrm{Aut}(𝒜)$, $t\mapsto {\alpha }_t$ (“시간 변화”)

만약 임의의 $A,B\in 𝒜$에 대하여 다음 네 조건들을 모두 만족시키는 연속 함수

$F_{AB}:ℝ+\mathrm{i}[0,\beta ]\to ℂ$

가 존재한다면, $\varphi$를 $\beta$에서의 구보-마틴-슈윙거 상태(틀:Llang)라고 한다.틀:Rp

• $F_{AB}$의 치역은 유계 집합이다.
• $F_{AB}\upharpoonright (ℝ+\mathrm{i}(0,\beta ))$는 정칙 함수이다.
• $F_{AB}(t)=\varphi (A{\alpha }_{t}B)\mathrm{\forall }t\in ℝ$ (실수선에서의 경계 조건)
• $F_{AB}(t+\mathrm{i}\beta )=\varphi (({\alpha }_{t}B)A)\mathrm{\forall }t\in ℝ$ (실수선$+\mathrm{i}\beta$에서의 경계 조건)

물리학적으로, $F_{AB}$는 현재 관측 가능량 $A$와 시각 $t$에서의 관측 가능량 $B$ 사이의 상관 함수이다.

성질

구보-마틴-슈윙거 상태는 시간 불변이다. 즉, $(\alpha ,\beta )$-구보-마틴-슈윙거 상태 $\varphi$에 대하여, 다음이 성립한다.틀:Rp

$\varphi \circ {\alpha }_t=\varphi \mathrm{\forall }t\in ℝ$

예

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 유한 차원 복소수 힐베르트 공간 $V={ℂ}^N$
• $N\times N$ 에르미트 행렬 $H$ (“해밀토니언 연산자”)
• 양의 실수 $\beta \in {ℝ}^{+}$

그렇다면, 모든 $N\times N$ 복소수 행렬로 구성된 폰 노이만 대수 $\mathrm{B}(V,V)=\mathrm{Mat}(n,n;ℂ)$를 생각하자. 이 위에는 자기 동형

${\alpha }_t:A\mapsto \exp (\mathrm{i}tH)A\exp (-\mathrm{i}tH)$

이 존재하며, 이는 군 준동형

$\alpha :(ℝ,+)\to \mathrm{Aut}(\mathrm{Mat}(n,n;ℂ))\cong \mathrm{U}(n)$

$\alpha :t\mapsto {\alpha }_t$

을 정의한다. 이 경우, 임의의 복소수 행렬 $M\in \mathrm{Mat}(n,n;ℂ)$에 대하여 기브스 상태

$\omega (A;\beta )=\frac{\mathrm{tr}(\exp (-\beta H)A)}{\mathrm{tr}\exp (-\beta H)}$

및 함수

$F_{AB}:ℝ+\mathrm{i}[0,\beta ]\to ℂ$

$F_{AB}(z)=\omega (A\exp (\mathrm{i}zH)B;\beta )$

를 정의하자. 그렇다면 $F_{AB}(-)$가 구보-마틴-슈윙거 경계 조건을 만족시킴을 쉽게 확인할 수 있으며, 이에 따라 $\omega (-;\beta )$는 구보-마틴-슈윙거 상태를 이룬다.

증명:

유일하게 자명하지 않은 것은 $z\in ℝ+\mathrm{i}\beta$에서의 경계 조건이다. 이는 대각합의 순환 성질을 사용하면 쉽게 보일 수 있다.

$\begin{array}{cc}(\mathrm{tr}\exp (-\beta H))F_{AB}(t+\mathrm{i}\beta )& =\mathrm{tr}(\exp (-\beta H)A\exp (\mathrm{i}(t+\mathrm{i}\beta )H)B\exp (-\mathrm{i}(t+\mathrm{i}\beta )H))\\ & =\mathrm{tr}(\exp (\mathrm{i}(t+\mathrm{i}\beta )H)B\exp (-\mathrm{i}(t+\mathrm{i}\beta )H)\exp (-\beta H)A)\\ & =\mathrm{tr}(\exp (-\beta H)\exp (\mathrm{i}tH)B\exp (-\mathrm{i}tH)A)\end{array}$

보다 일반적으로, 임의의 복소수 힐베르트 공간 $V$(의 조밀 부분 공간) 위의 자기 수반 작용소 $H:D\to V$가 주어졌다고 하자. 이에 따라, 임의의 $t\in ℝ$에 대하여 유니터리 작용소 $\exp (\mathrm{i}tH):V\to V$를 정의할 수 있다. $V$ 위의 모든 유계 작용소들은 1종 인자 대수 $\mathrm{B}(V,V)$를 이루며,

${\alpha }_t:A\mapsto \exp (\mathrm{i}tH)A\exp (-\mathrm{i}tH)$

는 그 위의 자기 동형을 정의한다. 이 경우, $\alpha$에 대한, 온도의 역수 $\beta$에서의 구보-마틴-슈윙거 상태가 존재할 필요 충분 조건은 $\exp (-\beta H)$가 대각합류 작용소인지 여부이다.틀:Rp 만약 이 조건이 성립한다면, 유일한 구보-마틴-슈윙거 상태는 다음과 같은 기브스 상태이다.틀:Rp

${\varphi }_H:A\mapsto \frac{\mathrm{tr}(\exp (-\beta H)A)}{\mathrm{tr}\exp (-\beta H)}$

역사

줄리언 슈윙거

구보 료고틀:Rp와 폴 세실 마틴(틀:Llang, 1931~2016)과 줄리언 슈윙거가 1950년대에 도입하였다.

“구보-마틴 슈윙거 경계 조건”(틀:Llang)이라는 용어는 1967년에 최초로 사용되었다.

같이 보기

• 기브스 상태

각주

• 틀:웹 인용

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:매스월드