고윳값 행렬

틀:위키데이터 속성 추적 고유값 행렬(eigenvalue matrix)은 고유벡터와 함께 임의의 대상이되는 행렬의 특성을 보여주는 정보를 갖고있는 행렬이다.

어떤 행렬의 고유값 분해에서 그 고유값행렬은 계수 행렬의 특수한 경우이다.

고유값 행렬식과 판별식

실수 $2\times 2$ 행렬을 예약하고

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

의 고유값 행렬식은 다음과 같다.

$\begin{array}{cc}\det (xI-A)& =\left(\begin{array}{cc}x-a& -b\\ -c& x-d\end{array}\right)\\ & =x^2-(a+d)x+(ad-bc)\\ & =x^2-\mathrm{tr}Ax+\det A\end{array}$

이어서 판별식은 다음과 같다.

$\mathrm{\Delta }={\mathrm{tr}}^{2}A-4\det A$

여기서 $tr=$ 대각합 $\det =$ 행렬식 $I$는 단위행렬

예

$A=\left(\begin{array}{cc}-5& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$

$\begin{array}{cc}\det (xI-A)& =\left(\begin{array}{cc}x-(-5)& -4\\ -0& x-(1)\end{array}\right)\\ & =x^2-(-5+1)x+(-5-0)\\ & =x^2+4x-5\end{array}$

$x^2+4x-5=0$

$x=1,-5$

이어서

$x=-5$일때,

$\left(\begin{array}{cc}(-5)-(-5)& -4\\ -0& (-5)-(1)\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}0& -4\\ 0& -6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

$-4x_2=0$

$-6x_2=0$

$x_2=0$

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ 0\end{array}\right)=x_1\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

$x=1$일때,

$\left(\begin{array}{cc}(1)-(-5)& -4\\ -0& (1)-(1)\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}6& -4\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

$6x_1+-4x_2=0$

$6x_1=4x_2$

$x_1=\frac{4x_2}{6}$

$x_1=\frac{2}{3}{x}_2$

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{2}{3}{x}_2\\ x_2\end{array}\right)=x_2\left(\begin{array}{c}\frac{2}{3}\\ 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}1& \frac{2}{3}\\ 0& 1\end{array}\right)$

고유 벡터의 순서에서 고유벡터행렬 $P$를 얻고 ,

이어서

$P^{-1}AP=A^D$

로부터 대각화 행렬 $A^D$ 을 얻는다.

같이 보기

• 행렬 분해
• 미분 방정식
• 차분 방정식
• Z변환

참고

• 매스월드
• 매스월드