경로적분법

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 틀:다른 뜻 복소해석학에서 경로 적분법(Methods of contour integration)은 복소평면위의 어떤 경로를 따라 적분하는 것을 말한다. 경로적분(Contour integration)은 복소해석학의 유수 정리(Residue theorem)와 밀접하게 관련이 있다. 경로 적분법은 다음을 포함한다.

• 복소평면 위에서 곡선을 따라 복소함수를 직접 적분
• 코시 적분 공식(Cauchy integral formula)의 응용
• 유수 정리(Residue theorem)의 응용

이러한 방법들과 극한 계산을 이용하여 합이나 적분의 값을 찾아낼 수 있다.

직접 계산

다변수 미적분학에서 선적분을 계산하듯이 직접 적분을 계산한다. 이 계산은 다음의 과정을 거친다.

• 경로를 매개변수화 한다.
• 적분을 매개변수로 치환한다.
• 직접 계산한다.

예

적분 경로가 단위원일 경우 $z^{-1}$의 경로적분값을 직접 계산한다. 즉, 다음 적분을 계산하면 된다.

${\oint }_C\frac{1}{z}dz$

이 적분을 하기 위해 단위원을 매개변수화 한다. 그러므로 $t\in [0,2\pi ]$때, $z(t)=e^{it}$가 되므로 $dz/dt=i{e}^{it}$가 되므로 다음과 같이 계산된다.

$\begin{array}{cc}{\oint }_C\frac{1}{z}dz& =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{1}{e^{it}}i{e}^{it}dt=i\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}1dt\\ & =[t{]}_0^{2\pi }i=(2\pi -0)i=2\pi i\end{array}$

적분 정리들의 응용

코시 적분 정리(Cauchy-Goursat theorem)나 유수 정리(Residue theorem) 등 몇 가지 알려진 정리들을 활용한다.

예 1

다음 적분을 하려고 한다.

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{(x^2+1{)}^2}dx$

the contour

이 적분을 하기 위해 다음과 같은 복소함수를 먼저 생각한다.

$f(z)=\frac{1}{(z^2+1{)}^2}$

이 함수는 $i$와 $-i$에서 특이점을 갖는다. 우리가 선택한 경로는 우측의 그림과 같고, 계산을 해야할 부분은 실수축을 따라가는 적분부분이다. 코시 적분 공식(Cauchy integral formula)과 유수 정리를 이용하는 두 가지 방법으로 계산이 가능하다. 이 경로를 $C$라고 하면 다음과 같이 계산된다.

코시 적분 공식을 이용한 계산

${\oint }_{C}f(z)dz=\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(z)dz+\underset{\text{Arc}}{\int }f(z)dz$

이므로

$\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(z)dz={\oint }_{C}f(z)dz-\underset{\text{Arc}}{\int }f(z)dz$

라는 사실에 주목하자. (여기서 Arc는 반원의 가장자리를 따라가는 경로)

$f(z)=\frac{1}{(z^2+1{)}^2}=\frac{1}{(z+i{)}^2(z-i{)}^2}.$

와 같이 분모가 분해되고 적분경로 내부에는 $i$에서 특이점이 발생하므로

$f(z)=\frac{\frac{1}{(z+i{)}^2}}{(z-i{)}^2},$

라고 쓸 수 있다. 코시 적분 공식에 직접 대입하여 다음과 같이 계산된다.

$\begin{array}{cc}{\oint }_{C}f(z)dz& ={\oint }_C\frac{1}{(z^2+1{)}^2}dz={\oint }_C\frac{\frac{1}{(z+i{)}^2}}{(z-i{)}^2}dz=2\pi i\frac{d}{dz}{\left(\frac{1}{(z+i{)}^2})\right|}_{z=i}\\ & =2\pi i{\left(\frac{-2}{(z+i{)}^3}\right)|}_{z=i}=2\pi i(-i/4)=\frac{\pi }{2}\end{array}$

반원의 가장자리를 따라가는 적분도 마저 계산해야 한다. 이 적분의 극한이 영에 수렴함을 보인다. 즉,

$|\underset{\text{Arc}}{\int }f(z)dz|\le ML$

임을 보인다. 여기서 $M$은 $|f(z)|$의 상계(upper bound)이고, $L$은 반원 가장자리의 길이이다.

$\underset{\text{Arc}}{\int }f(z)dz\le \frac{a\pi }{(a^2-1{)}^2}\to 0\mathrm{a}\mathrm{s}a\to \mathrm{\infty }.$

이므로

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{(x^2+1{)}^2}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(z)dz=\underset{a\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(z)dz=\frac{\pi }{2}.◻$

유수 정리를 이용한 계산

$i$에서 $f(z)$의 로랑 급수를 생각한다.

$f(z)=\frac{-1}{4(z-i{)}^2}+\frac{-i}{4(z-i)}+\frac{3}{16}+\frac{i}{8}(z-i)+\frac{-5}{64}(z-i{)}^2+\cdots$

유수(residue)의 값이 $-i/4$라는 것을 알 수 있다. 그러므로 유수 정리(residue theorem)에 의해 다음을 얻을 수 있다.

${\oint }_{C}f(z)dz={\oint }_C\frac{1}{(z^2+1{)}^2}dz=2\pi i{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{z=i}f=2\pi i(-i/4)=\frac{\pi }{2}◻$

마지막으로 반원의 가장자리를 따라가는 적분은 위와 같다.

예 2

다음 적분을 시도하려고 한다.

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{itx}}{x^2+1}dx$

이 적분은 초등 미적분학으로 계산하기 어렵다. 위 예1과 마찬가지로 동일한 경로를 선택하여 적분한다. 그러므로 다음과 같은 복소함수의 적분을 생각해야 한다.

$\underset{C}{\int }\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz.$

$e^{itz}$는 전해석 함수이므로 이 함수는 오직 분모가 영이 되는 지점에서만 특이점을 가진다. 유수를 계산하면 다음과 같다.

$\underset{z\to i}{\lim }(z-i)f(z)=\underset{z\to i}{\lim }(z-i)\frac{e^{itz}}{z^2+1}=\underset{z\to i}{\lim }(z-i)\frac{e^{itz}}{(z-i)(z+i)}$

$=\underset{z\to i}{\lim }\frac{e^{itz}}{z+i}=\frac{e^{iti}}{i+i}=\frac{e^{-t}}{2i}.$

그러므로 유수 정리(residue theorem)에 의해 전체 경로의 적분값은 다음과 같이 계산된다.

$\underset{C}{\int }f(z)dz=2\pi i\cdot {\mathrm{Res}}_{z=i}f(z)=2\pi i\frac{e^{-t}}{2i}=\pi e^{-t}.$

그런데 이 경로는 두 개의 적분으로 분해된다.

$\underset{\text{straight}}{\int }+\underset{\text{arc}}{\int }=\pi e^{-t},$

따라서 다음과 같이 된다.

$\underset{-a}{\overset{a}{\int }}=\pi e^{-t}-\underset{\text{arc}}{\int }.$

이로써 $t$가 영보다 클 경우와 작은 경우를 나누어야 한다. 만약 영보다 클 경우,

$\underset{\text{arc}}{\int }\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz\to 0\text{as}a\to \mathrm{\infty }.$

이므로 다음과 같이 적분이 계산된다.

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz=\pi e^{-t}.$

비슷하게 $t$가 영보다 작을 경우 적분 경로를 아래쪽 반원을 취하여

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz=\pi e^t,$

이 됨을 알 수 있다. 그리하여 다음을 계산할 수 있다.

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz=\pi e^{-\left|t\right|}.◻$

(만약 $t=0$일 경우는 실해석학으로 적분값이 $\pi$임을 즉시 알 수 있다.)

같이 보기

• 유수 (복소해석학)
• 코시 주요값