초거리 공간

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 초거리 공간(超距離空間, 틀:Llang)은 삼각 부등식보다 더 강한 부등식을 만족시키는 거리 공간이다.

정의

집합 $M$ 위의 초거리 함수(틀:Llang)는 다음 조건들을 만족시키는 함수

d : M \times M \to ℝ_{\geq 0}

이다.

(대칭성) 모든 $x, y \in M$ 에 대하여, $d (x, y) = d (y, x)$
모든 $x, y \in M$ 에 대하여, $d (x, y) = 0 ⟺ x = y$
(초거리 부등식 틀:Llang) 모든 $x, y \in M$ 에 대하여, $d (x, z) \leq \max {d (x, y), d (y, z)}$

초거리 공간은 초거리 함수를 갖춘 집합이다.

초거리 함수는 거리 함수이며, 따라서 초거리 공간은 거리 공간이다.

초거리 공간에서, 모든 삼각형은 이등변 삼각형이며, 밑변이 같은 두 변보다 더 길지 않다. 즉, 임의의 $x, y, z \in M$ 에 대하여, 다음 세 조건 가운데 항상 하나 이상이 성립한다.

초거리 공간 $(M, d)$ 의 열린 공에 대하여, 다음이 성립한다.

열린 공 속의 모든 점은 공의 중심이다. 즉, 만약 $d (x, y) < r$ 라면 $B (x, r) = B (y, r)$ 이다.
서로 교차하는 두 열린 공의 경우, 하나가 다른 하나의 부분 집합이다. 즉, $B (x, r) \cap B (y, s) \neq \emptyset$ 이라면 $B (x, r) \subseteq B (y, s)$ 이거나 $B (y, s) \subseteq B (x, r)$ 이다.
열린 공과 닫힌 공은 모두 열린닫힌집합이다.

집합 $S$ 위의 이산 거리 공간은 초거리 공간이다.

p진수의 공간은 p진 노름을 부여하면 완비 초거리 공간을 이룬다.