감마 함수의 역수

수학에서 감마 함수의 역수는 감마 함수 틀:Math에 역수를 취한 함수이다.

f (z) = \frac{1}{Γ (z)},

감마 함수는 복소 평면 전체에서 유리형 함수이고 영점이 없으므로 그 역수는 전해석 함수이다.

이 함수는 감마 함수를 수치 근사하는 데에 사용되며 일부 소프트웨어 라이브러리에서는 이를 일반 감마 함수와 별도로 제공한다.

카를 바이어슈트라스는 이 함수를 "factorielle"이라고 부르고 이를 바이어슈트라스의 곱 정리에 사용했다.

무한곱 전개

감마 함수의 무한곱꼴 정의에서 다음과 같이 유도된다. 모든 복소수 틀:Math에서 성립하며, 틀:Math는 오일러-마스케로니 상수이다.

\begin{matrix} \frac{1}{Γ (z)} & = z \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{1 + \frac{z}{n}}{{(1 + \frac{1}{n})}^{z}} \\ \frac{1}{Γ (z)} & = z e^{γ z} \prod_{n = 1}^{\infty} (1 + \frac{z}{n}) e^{- \frac{z}{n}} \end{matrix}

틀:Math에서의 테일러 급수 전개는 다음과 같다.^[1]

\frac{1}{Γ (z)} = z + γ z^{2} + (\frac{γ^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{12}) z^{3} + (\frac{γ^{3}}{6} - \frac{γ π^{2}}{12} + \frac{ζ (3)}{3}) z^{4} + \dots

여기서 틀:수학 는 오일러-마스케로니 상수이다. 틀:수학일 때 틀:수학 항의 계수 틀:수학은 다음 점화식이나 적분으로 계산할 수 있다.^[2]^[3] 틀:Math 는 리만 제타 함수이다. 적분꼴은 2014년에 Fekih-Ahmed이 발견했다.^[3]

a_{n} = \frac{a_{2} a_{n - 1} + \sum_{j = 2}^{n - 1} (- 1)^{j + 1} ζ (j) a_{n - j}}{n - 1} = \frac{γ a_{n - 1} - ζ (2) a_{n - 2} + ζ (3) a_{n - 3} - \dots}{n - 1}

a_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{π n!} \int_{0}^{\infty} e^{- t} Im [(\log (t) - i π)^{n}] d t .

처음 30개의 항의 값은 다음과 같다.

$a_{n}$ 의 근사공식은 다음과 같다.^[3]

a_{n} \approx \frac{(- 1)^{n}}{(n - 1)!} \sqrt{\frac{2}{π n}} Im (\frac{z_{0}^{(1 / 2 - n)} e^{- n z_{0}}}{\sqrt{1 + z_{0}}}),

여기서 $z_{0} = - \frac{1}{n} \exp (W_{- 1} (- n)),$ $W_{- 1}$ 는 람베르트 W 함수의 -1번째 분지이다.

양의 실수축 위에서의 이상적분 값은 다음과 같으며, 이를 프랑세즈-로빈슨 상수라고 한다.

\int_{0}^{\infty} \frac{1}{Γ (x)} d x \approx 2.80777024

또한 다음과 같은 공식이 알려져 있다.^[4]

\int_{0}^{\infty} \frac{a^{x}}{Γ (x)} d x = a e^{a} + a \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- a x}}{\log^{2} (x) + π^{2}} d x