프랑세즈-로빈슨 상수

틀:위키데이터 속성 추적 틀:출처 필요 프랑세즈-로빈슨 상수(Fransén-Robinson constant) $F$는 역 감마 상수의 정확한 결정과 관련해서 감마 함수와 몇몇 관련 계수의 고정밀 값에 대한 유효한 정보를 결과값으로 제시한다.

$F,\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x)},x$축에서 대해서

$F=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x)}\mathrm{d}x$

$\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$

$F=2.8077702420285...$ 틀:OEIS

이것은 이것에 근접하는 오일러 수 $e=2.71828...$를 사용한 다음의 식으로 대략적으로 주어 질 수 있다.

$F\approx \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(n)}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}$

오일러 상수 $e$에 의해 또 다르게 표현될 수도 있다.

$F=e+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-x}}{{\pi }^2+(\ln x{)}^2}\mathrm{d}x$

$F=e+\frac{1}{\pi }\underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{\int }}{e}^{\pi \tan \theta }{e}^{-e^{\pi \tan \theta }}\mathrm{d}\theta$

프랑세즈 - 로빈슨 상수는 또한 제한된 미타그 레플레르 함수(Mittag-Leffler function)를 사용해서도 표현될 수 있다.

$E_{\alpha ,\beta }(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{\mathrm{\Gamma }(\alpha k+\beta )}$

$F=\underset{\alpha \to 0}{\lim }\alpha E_{\alpha ,0}(1)$

같이 보기

• 감마 함수
• 미타그 레플레르 함수
• 수학 상수