콘웨이군 (수학)
틀:위키데이터 속성 추적 군론에서 콘웨이군(틀:Llang)은 존 호턴 콘웨이가 도입한 산재군 Co1, Co2, Co3 및 이와 관련된 유한군 Co0이다.
콘웨이 군 중 가장 큰 Co0는 덧셈 및 내적에 대한 리치 격자 Λ의 자기동형군으로, 위수 틀:Val을 갖고, 단순군이 아니다.
단순군 Co1은 Co0를 스칼라 행렬 ±1로 구성된 중심에 의한 몫군으로 정의되고, 위수 틀:Val를 갖는다.
리치 격자의 내적은 두 벡터의 스칼라곱의 1/8로 정의되고, 정수값을 갖는다. 벡터의 제곱 노름은 자신과의 내적이며 항상 짝수이다. 리치 격자의 벡터에 대해 그 제곱 노름의 절반을 벡터의 유형이라고 한다. 콘웨이 군의 부분군은 종종 관련된 고정점의 유형을 참조하여 이름이 붙는다. 리치 격자에는 유형 1의 벡터가 없다.
Co2 (위수 틀:Val) 및 Co3 (위수 틀:Val)은 각각 유형 2와 유형 3의 격자 벡터를 고정하는 리치 격자 Λ의 자기동형으로 구성된다. 스칼라 −1은 영벡터가 아닌 벡터를 고정하지 않으므로 이 두 군은 Co1의 부분군과 동형이다.
역사
틀:하버드 인용 본문은 존 리치가 1964년경 큰 차원 유클리드 공간에서의 조밀한 구 채우기 문제를 연구한 방법에 대해 설명한다. 리치의 발견 중 하나는 훗날 리치 격자라고 불리게 되는 격자를 통한 24차원의 구 채우기였다. 리치는 리치 격자의 대칭군이 흥미로운 단순군에 포함되어 있는지 궁금해했지만, 군론에 조예가 깊은 이의 도움이 필요함을 느꼈다. 다른 수학자들은 이미 자신이 몰두하고 있는 주제가 있었기에 리치가 도움을 얻는 것은 쉽지 않았다. 존 호턴 콘웨이가 같이 문제에 대해 궁리하였다. 존 그리그스 톰프슨은 군의 위수가 주어진다면 흥미로울 것이라고 말하였다. 콘웨이는 문제에 몇 달 혹은 몇 년을 써야 할 것으로 예측했지만, 몇 번의 회의를 통해 의외로 빠르게 결과를 얻을 수 있었다.
틀:하버드 인용 본문은 그가 리치 격자를 1940년에 발견하였다고 말했고, 그것의 자기동형군 Co0의 위수를 계산하였다고 암시했다.
부분 격자 군
콘웨이와 톰프슨은 회의 틀:하버드 인용에서 설명된 4개의 산재군이 Co0의 부분군 또는 부분군의 몫과 동형임을 발견했다.
콘웨이는 점을 접두사로 붙인 점과 부분공간의 안정자에 대한 표기법을 사용했다. Co0 및 Co1인 .0 및 .1은 예외이다. 정수 틀:개행 금지에 대해 .n은 리치 격자에서 유형 n인 점의 안정자를 나타낸다.
콘웨이는 정점을 원점으로 하는 삼각형으로 정의된 평면의 안정자를 명명했다. .hkl 을 h, k 및 l 유형의 모서리(정점의 차이)가 있는 삼각형의 점별 안정자라고 하자. 이러한 삼각형은 h-k-l 삼각형이라고 한다. 가장 단순한 경우에 Co0는 문제에서의 점 또는 삼각형에 전이적이고 안정자 군은 켤레의 차이를 무시하고 정의된다.
콘웨이는 .322으로 매클로플린 군 McL(위수 틀:Val)을, .332으로 히그만-심즈 군 HS(위수 틀:Val)를 식별했다.
| 이름 | 위수 | 구조 | 정점의 예 |
|---|---|---|---|
| •2 | 218 36 53 7 11 23 | Co2 | (−3, 123) |
| •3 | 210 37 53 7 11 23 | Co3 | (5, 123) |
| •4 | 218 32 5 7 11 23 | 211:M 23 | (8, 023) |
| •222 | 215 36 5 7 11 | PSU6(2) ≈ Fi21 | (4, −4, 022), (0, −4, 4, 021) |
| •322 | 27 36 53 7 11 | McL | (5, 123 ), (4, 4, 022 ) |
| •332 | 29 32 53 7 11 | HS | (5, 123), (4, −4, 022) |
| •333 | 24 37 5 11 | 35:M11 | (5, 123), (0, 212, 011) |
| •422 | 217 32 5 7 11 | 210:M22 | (8, 023), (4, 4, 022) |
| •432 | 27 32 5 7 11 23 | M23 | (8, 023), (5, 123) |
| •433 | 210 32 5 7 | 24.A8 | (8, 023), (4, 27, −2, 015) |
| •442 | 212 32 5 7 | 21+8.A7 | (8, 023), (6, −27, 016) |
| •443 | 27 32 5 7 | M21:2 ≈ PSL3(4):2 | (8, 023), (5, −3, −3, 121) |
다른 두 개의 산재군
두 개의 부분 산재군은 리치 격자 구조의 안정자의 몫으로 정의할 수 있다. R24를 C12로, Λ를 로 식별하면, 결과적인 자기동형군(즉, 복소 구조를 보존하는 리치 격자의 자기동형군)은 복소 스칼라 행렬의 6개 요소 그룹으로 나눌 때 스즈키 산재군 Suz(위수 틀:Val)이 나타난다. 스즈키 산재군은 1968년 스즈키 미치오에 의해 발견되었다.
유사한 구성을 통해 Hall-Janko 군 J2 (위수 틀:Val)는 ±1 스칼라 군에 의한 Λ의 사원수 자기동형군의 몫으로 얻는다.
위에 설명된 7개의 단순군은 로버트 그리스가 2세대 Happy Family 라고 부르는 것으로 구성되며, 괴물군 내에서 발견되는 20개의 산재군으로 구성된다. 군 7개 중 몇 개는 적어도 1세대 를 구성하는 5개 마티외 군 중 일부를 포함한다.
일반화된 가공할 헛소리
콘웨이와 Norton은 1979년 논문에서 가공할 헛소리가 괴물군에게만 국한되지 않는다고 제안했다. Larissa Queen과 다른 사람들은 산재군의 차원의 단순한 조합으로 많은 Hauptmoduln의 확장을 구성할 수 있음을 나중에 발견했다. 콘웨이 군의 경우 관련 McKay-Thompson 급수는 다음과 같다. = {1, 0, 276, 틀:Val, 틀:Val, 틀:Val, ...} ( 틀:OEIS2C ) 및 = {1, 0, 276, 틀:Val, 틀:Val, 틀:Val, ...} ( 틀:OEIS2C )
여기서 상수항 틀:개행 금지, η(τ)는 데데킨트 에타 함수이다.