합성열

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서 합성열(合成列, 틀:Llang)은 군이나 가군을 보다 단순한 부분들로 분해하는 방법 중 하나이다. 합성열은 존재하지 않을 수도 있고, 존재한다 해도 유일하지 않을 수 있다. 그러나 카미유 조르당과 오토 횔더의 이름을 딴 조르당-횔더 정리(틀:Llang)에 따르면 합성열에 나타나는 몫군이나 몫가군들의 동형류와 각각의 동형류가 나타나는 횟수는 유일하게 결정된다. 단, 합성열 안에서 각 동형류가 나타나는 순서는 달라질 수 있다. 이는 슈라이어 정리를 통해 보일 수 있다. 조르당-횔더 정리는 초한 오름차순 합성열에 대해서도 성립하지만, 초한 내림차순 합성열에 대해서는 성립하지 않는다. 틀:Harv

합성열과 비슷한 개념으로 주합성열(틀:Llang)이 있다. 합성열은 극대 부분정규열인 데 비해, 주합성열은 극대 정규열이다. (모든 정규열은 부분정규열이지만, 주합성열이 합성열일 필요는 없다.) 작용소군의 개념을 사용하면 군과 가군의 합성열 및 군의 주합성열을 통일되게 기술할 수 있다.

정의

작용소군

모노이드 $Ω$ 위의 작용소군 $_{Ω} G$ 의 부분정규열(틀:Llang)은 다음 두 조건을 만족시키는, $G$ 의 부분 작용소군들의 열

1 = G_{0} ⊲ G_{1} ⊲ G_{2} ⊲ \dots ⊲ G_{n} = G

이다.

모든 $G_{i}$ 는 $G_{i + 1}$ 의 부분 작용소군이다.
모든 $G_{i}$ 는 $G_{i + 1}$ 의 정규 부분군이다 ( $G_{i} ⊲ G_{i + 1}$ ).

부분정규열에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분정규열을 합성열이라고 한다.

몫 작용소군 $G_{i + 1} / G_{i}$ 들은 단순 작용소군(=자명군과 스스로를 제외한 정규 부분 작용소군이 없는 비자명 작용소군)이다. 이 몫군들을 합성인자(틀:Llang)라고 부른다.
모든 $i$ 에 대하여, $G_{i} \neq G_{i + 1}$ 이며, $G_{i} ⊲ H ⊲ G_{i + 1}$ 인 부분 작용소군 $H \neq G_{i}, G_{i + 1}$ 가 존재하지 않는다.
모든 $G_{i}$ 는 $G_{i + 1}$ 의 극대 정규 부분 작용소군이다.

즉, 합성열은 더 큰 부분정규열의 일부가 아닌 부분정규열이다.

군

군 $G$ 위에는 다음과 같은 두 작용소군 구조를 부여할 수 있다.

자명 모노이드 $Ω = 1$ 의 자명한 작용. 이 작용소군 구조에 대한 부분정규열과 합성열은 군 $G$ 의 부분정규열과 합성열이다.
내부 자기 동형군 $Ω = Inn (G)$ 의 작용. 이 작용소군의 부분정규열을 군 $G$ 의 정규열(틀:Llang)이라고 하며, 이 작용소군의 합성열을 군 $G$ 의 주합성열이라고 한다.

즉, 군 $G$ 의 부분군의 열

1 = G_{0} ⊲ G_{1} ⊲ G_{2} ⊲ \dots ⊲ G_{n} = G

에 대하여,

만약 모든 $G_{i}$ 가 $G_{i + 1}$ 의 정규 부분군이라면, 이 부분군의 열을 부분정규열이라고 한다.
만약 부분정규열이며, 몫군 $G_{i + 1} / G_{i}$ 들이 단순군이라면 (즉, $G_{i} \neq G_{i + 1}$ 이며, $G_{i}$ 를 포함하는 $G_{i + 1}$ 의 정규 부분군이 $G_{i}$ 와 $G_{i + 1}$ 밖에 없다면), 이 부분군의 열을 합성열이라고 한다.
만약 모든 $G_{i}$ 가 $G$ 의 정규 부분군이라면, 이 부분군의 열을 정규열이라고 한다.
만약 정규열이며, 몫군 $G_{i + 1} / G_{i}$ 들이 $G / G_{i}$ 의 극소 정규 부분군이라면 (즉, $G_{i} \neq G_{i + 1}$ 이며, $G_{i}$ 와 $G_{i + 1}$ 사이에 $G$ 의 정규 부분군이 $G_{i}$ 와 $G_{i + 1}$ 밖에 없다면), 이 부분군의 열을 주합성열이라고 한다. 따라서, 주합성열은 더 큰 정규열에 포함되지 않는 정규열이다.

아벨 군의 경우, 모든 부분군이 정규 부분군이므로, 부분정규열과 정규열의 개념이 일치하며, 합성열과 주합성열 역시 같은 개념이다.

가군

왼쪽 가군은 그 환의 작용을 갖춘 작용소군으로 여길 수 있다. 이 경우, 부분 작용소군·정규 부분 작용소군·부분 가군의 개념이 일치한다. 따라서, 환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R} M$ 의 부분정규열은 단순히 부분 가군의 열

0 = M_{0} \subset M_{1} \subset M_{2} \subset \dots \subset M_{n} = M

이며, 모든 몫가군 $M_{i + 1} / M_{i}$ 가 단순 가군일 때 이 열은 합성열이다.

성질

존재

임의의 모노이드 $Ω$ 및 $Ω$ -작용소군 $_{Ω} G$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$G$ 는 합성열을 갖는다.
$G$ 의 부분정규 부분 작용소군의 (포함 관계에 의한) 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건과 내림 사슬 조건을 만족한다.
다음 두 조건이 성립한다.
- 임의의 $G$ 의 부분 작용소군의 열 $G_{0} ⊲ G_{1} ⊲ \dots$ 에 대하여, 만약 모든 $G_{i}$ 가 $G_{i + 1}$ 의 정규 부분군이라면, $G_{n} = G_{n + 1} = G_{n + 2} = \dots$ 인 $n \in ℕ$ 이 존재한다.
- 임의의 $G$ 의 부분 작용소군의 열 $G_{0} ⊳ G_{1} ⊳ \dots$ 에 대하여, 만약 모든 $G_{i}$ 가 $G_{i - 1}$ 의 정규 부분군이라면, $G_{n} = G_{n + 1} = G_{n + 2} = \dots$ 인 $n \in ℕ$ 이 존재한다.

특히, 모든 유한군은 합성열을 갖는다. 무한군은 합성열을 갖지 않을 수 있다. 예컨대 $ℤ$ 는 합성열이 없다.

유일성

조르당-횔더 정리에 따르면, 임의의 작용소군의 두 합성열은 ‘동형’이다. 즉, 모노이드 $Ω$ 및 $Ω$ -작용소군 $_{Ω} G$ 및 $G$ 의 두 합성열

1 = G_{0} ⊲ G_{1} ⊲ \dots ⊲ G_{m} = G

1 = H_{0} ⊲ H_{1} ⊲ \dots ⊲ H_{n} = G

이 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

$m = n$
모든 $i$ 에 대하여 $G_{i}$ 와 $H_{σ (i)}$ 가 동형이 되는 ${1, \dots, n}$ 의 순열 $σ$ 가 존재한다.

틀:증명 슈라이어 정리에 의해 두 합성열은 동형인 세분을 갖는다. 그러나 합성열의 몫군은 모두 단순 작용소군이므로 어떠한 합성열도 더 이상의 세분을 갖지 않는다. 따라서 임의의 두 합성열은 동형이다. 틀:증명 끝

같이 보기

슈라이어 정리

참고 문헌

합성열

목차

정의

작용소군

군

가군

성질

존재

유일성

같이 보기

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작용소군

군

가군

성질

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