슈라이어 정리

틀:위키데이터 속성 추적 군론에서 슈라이어 정리(틀:Llang)는 임의의 군의 두 정규 부분군의 열을 서로 ‘동치’가 되도록 세분할 수 있다는 정리이다.

정의

군 $G$의 정규 부분군들의 열

$1=G_0⊲G_1⊲G_2⊲\cdots ⊲G_m=G$

$1=H_0⊲H_1⊲H_2⊲\cdots ⊲H_n=G$

이 주어졌다고 하자. 만약 전자에 유한 개의 부분군을 추가하여 후자를 얻을 수 있다면, 후자가 전자의 세분(틀:Llang)이라고 한다. 만약 $m=n$이며, 모든 $i=1,\dots ,n$에 대하여 몫군 $G_i/G_{i-1}$와 $H_{\sigma (i)}/H_{\sigma (i)-1}$이 동형이 되는, $i=1,\dots ,n$의 순열 $\sigma$가 존재한다면, 두 열이 서로 동치(틀:Llang)라고 한다.

슈라이어 정리에 따르면, 군 $G$의 두 정규 부분군의 열은 서로 동치인 세분을 갖는다.틀:Rp

틀:증명 군 $G$의 두 정규 부분군의 열

$1=G_0⊲G_1⊲G_2⊲\cdots ⊲G_m=G$

$1=H_0⊲H_1⊲H_2⊲\cdots ⊲H_n=G$

이 주어졌다고 하자.

$G_{ij}=G_{i-1}(H_j\cap G_i)(i=1,\dots ,m,j=0,\dots ,n)$

$H_{ij}=H_{j-1}(G_i\cap H_j)(i=0,\dots ,m,j=1,\dots ,n)$

라고 하자. 그렇다면, 나비 보조정리에 따라 각 $i=1,\dots ,m$ 및 $j=1,\dots ,n$에 대하여

$G_{i,j-1}⊲G_{ij}$

$H_{i-1,j}⊲H_{ij}$

이며, 다음과 같은 ($mn$쌍의) 몫군의 동형이 성립한다.

$G_{ij}/G_{i,j-1}\cong H_{ij}/H_{i-1,j}$

따라서, 두 열의 세분

$1=G_0=G_{10}⊲G_{11}⊲\cdots ⊲G_{1n}=G_1=G_{20}⊲G_{21}⊲\cdots ⊲G_{mn}=G$

$1=H_0=H_{01}⊲G_{11}⊲\cdots ⊲G_{m1}=H_1=H_{02}⊲H_{12}⊲\cdots ⊲H_{mn}=G$

은 서로 동치이다. 틀:증명 끝