뒤틀린 드람 코호몰로지

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학과 대수적 위상수학과 이론물리학에서 뒤틀린 드람 코호몰로지(뒤틀린de Rham cohomology, 틀:Llang)는 홀수 차수 드람 코호몰로지류를 갖춘 매끄러운 다양체 위에 정의되는 코호몰로지이다.틀:Rp 정수 등급을 갖는 (뒤틀리지 않은) 드람 코호몰로지와 달리, 뒤틀린 드람 코호몰로지의 등급은 오직 0 또는 1 밖에 없다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
  • 그 위에 미분 형식의 공간 ${\mathrm{\Omega }}^{\bullet }(M)$을 정의할 수 있다.
  • 짝수 차수 미분 형식의 공간 ${\mathrm{\Omega }}^{2\mathbb{Z}}(M)={⨁}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Omega }}^{2i}(M)$과 홀수 차수 미분 형식의 공간 ${\mathrm{\Omega }}^{1+2\mathbb{Z}}(M)={⨁}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Omega }}^{2i+1}(M)$을 정의할 수 있다.
• 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$
  • 이에 따라 벡터 값 미분 형식의 공간 ${\mathrm{\Omega }}^{\bullet }(M;E)$을 정의할 수 있다.
• 평탄 벡터 다발 접속 $\mathrm{\nabla }:\mathrm{\Gamma }(E)\to \mathrm{\Gamma }(E\otimes {\mathrm{T}}^{*}M)$
  • 이에 따라 벡터 값 미분 형식의 외미분 ${\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}:{\mathrm{\Omega }}^{\bullet }(M;E)\to {\mathrm{\Omega }}^{\bullet +1}(M;E)$을 정의할 수 있으며, ${\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}\circ {\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}=0$이다.
• 홀수 차수 닫힌 미분 형식 $H\in {\mathrm{\Omega }}^{1+2\mathbb{Z}}(M)$

그렇다면,

${\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}^H={\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}+H\wedge :{\mathrm{\Omega }}^{\bullet +2\mathbb{Z}}(M;E)\to {\mathrm{\Omega }}^{\bullet +1+2\mathbb{Z}}(M;E)$

을 정의할 수 있다. 이 경우

${\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}^H\circ {\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}^H=0$

이므로, 완전열

$\cdots \to {\mathrm{\Omega }}^{2\mathbb{Z}}(M;E)\stackrel{{\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}^H}{\to }{\mathrm{\Omega }}^{1+2\mathbb{Z}}(M;E)\stackrel{{\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}^H}{\to }{\mathrm{\Omega }}^{2\mathbb{Z}}(M;E)\stackrel{{\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}^H}{\to }{\mathrm{\Omega }}^{1+2\mathbb{Z}}(M;E)\to \cdots$

을 정의할 수 있다. 그 코호몰로지

${\mathrm{H}}_H^{i+2\mathbb{Z}}(M;E)(i\in \{0,1\})$

를 뒤틀린 드람 코호몰로지라고 한다.

성질

뒤틀린 드람 코호몰로지는 사실 드람 코호몰로지류에만 의존한다. 즉, 임의의

$H\in {\mathrm{\Omega }}^{1+2\mathbb{Z}}(M)$

$B\in {\mathrm{\Omega }}^{2\mathbb{Z}}(M)$

에 대하여, 항상 표준적으로

${\mathrm{H}}_H^{\bullet +2\mathbb{Z}}(M;E)\cong {\mathrm{H}}_{H+\mathrm{d}B}^{\bullet +2\mathbb{Z}}(M;E)$

이다.

증명:

${\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}^{H+\mathrm{d}B}=\exp (-B\wedge ){\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}^H\exp (B\wedge )$ 이다.

홀수 차수 미분 형식

$H=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{H}_{2i+1}$

$H_{2i+1}\in {\mathrm{\Omega }}^{2i+1}(M)$

으로 정의된 뒤틀린 드람 코호몰로지에서, $H_1\in {\mathrm{\Omega }}^1(M)$은 매끄러운 벡터 다발 $E$의 접속으로 흡수할 수 있다. 즉, $E$의 벡터 다발 접속 $\mathrm{\nabla }$를

${\mathrm{d}}_{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }}={\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}+H_1\wedge$

$H^{\prime }=H-H_1$

로 재정의하면,

${\mathrm{d}}_{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }}^{H^{\prime }}={\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}^H$

이다. 즉, 일반성을 잃지 않고 $H_1=0$로 놓을 수 있다.

동차성

홀수 차수 미분 형식

$H=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{H}_{2i+1}$

$H_{2i+1}\in {\mathrm{\Omega }}^{2i+1}(M)$

으로 정의된 뒤틀린 드람 코호몰로지가 주어졌다고 하자. 다음을 정의하자.

$H(t)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{t}^i{H}_{2i+1}(t\in {ℝ}^{\times })$

그렇다면, 다음이 성립한다.틀:Rp

${\mathrm{H}}_H^{i+2\mathbb{Z}}(M;E)\cong {\mathrm{H}}_H^{i+2\mathbb{Z}}(M;E)$

구체적으로,

$c(t):{\mathrm{\Omega }}^{\bullet }(M)\to {\mathrm{\Omega }}^{\bullet }(M)$

$c(t)\upharpoonright {\mathrm{\Omega }}^i(M)=t^{\lfloor i/2\rfloor }$

를 정의하면,

$c(t)\circ {\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}^H\upharpoonright {\mathrm{\Omega }}^{i+2\mathbb{Z}}(M;E)={\lambda }^i{\mathrm{d}}_{\mathrm{\nabla }}^{H(t)}\circ c(t)$

이다.

이 변환에서, 1차 성분 $H_1$은 $t$에 의하여 변하지 않는다. 만약 1차 성분을 재정의할 경우 코호몰로지 차원이 바뀔 수 있다.

형식적 다양체

$H$가 3차 미분 형식이며, $E=M\times ℝ$가 자명한 접속을 갖는 자명한 벡터 다발인 경우를 생각하자. 이 경우, 만약 $M$이 형식적 공간이라면, 뒤틀린 드람 코호몰로지는 (뒤틀리지 않은) 드람 코호몰로지와 동형이다.틀:Rp

${\mathrm{H}}_H^{\bullet }(M;ℝ)\cong {\mathrm{H}}^{\bullet }(M;ℝ)$

응용

끈 이론에서, 뒤틀린 드람 코호몰로지는 라몽-라몽 장의 장세기를 나타낸다. 특히, 위상 T-이중성은 서로 T-이중성으로 관련된 두 공간 사이의 뒤틀린 드람 코호몰로지의 동형을 정의한다.틀:Rp 이 경우, 0 또는 1인 등급이 서로 뒤바뀌게 되는데, 이 두 등급은 각각 ⅡA 및 ⅡB형 초끈 이론에 해당한다.

외부 링크

• 틀:Nlab