포커르-플랑크 방정식

틀:위키데이터 속성 추적 확률 과정 이론에서, 포커르-플랑크 방정식(Fokker-Planck方程式, 틀:Llang)은 어떤 이토 확률 과정의 확률 밀도 함수가 따르는 편미분 방정식이다. 이는 시간에 대하여 1차, 공간에 대하여 2차 편미분 방정식이다. 형식적으로, 슈뢰딩거 방정식의 윅 회전의 꼴이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

확률 공간 $Ω$
$Ω$ 위의 위너 확률 과정 $(W_{t} : Ω \to ℝ^{n})_{t \in [0, \infty)}$
$W$ 에 대한, $ℝ^{m}$ 값의 이토 확률 과정 $d X_{t}^{i} = f^{i} (t, X_{t}) d t + g^{i}_{j} (t, X_{t}) d W_{t}^{j}$ . 또한, $f : ℝ \times ℝ^{m} \to ℝ^{m}$ 가 $x$ 에 대하여 1차 연속 미분 가능 함수이며, $g : ℝ \times ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ 가 $x$ 에 대하여 2차 연속 미분 가능 함수라고 하자.

편의상, 다음 행렬을 정의하자. 이는 이토 확률 과정의 분산을 나타낸다.

D : ℝ \times ℝ^{n} \to ℝ^{n}

D^{i j} (x, t) = \frac{1}{2} \sum_{k} g^{i}_{k} (x, t) g^{j}_{k} (x, t)

이 경우, 이 이토 확률 과정에 대응되는 포커르-플랑크 방정식은 함수

p : ℝ \times ℝ^{m} \to ℝ

p : (t, x) \mapsto p (t, x)

에 대한, 다음과 같은 편미분 방정식이다.

\frac{\partial}{\partial t} p (t, x) + \frac{\partial}{\partial x^{i}} (f^{i} (t, x) p (t, x)) - \frac{\partial}{\partial x^{i}} \frac{\partial}{\partial x^{j}} (D^{i j} (t, x) p (t, x)) = 0

(편의상 아인슈타인 표기법을 사용하였다.)

이토 확률 과정의, 시간 $t$ 에서의 확률 밀도 함수 $p (t, x)$ 는 포커르-플랑크 방정식을 따른다.

위너 확률 과정 $W_{t}$ 는 $f = 0$ , $g^{i}_{j} = δ_{j}^{i}$ 인 이토 확률 과정이다. 이 경우 포커르-플랑크 방정식은

\frac{\partial}{\partial t} p (t, x) = \frac{1}{2} Δ p (t, x)

가 된다. 이는 $ℝ^{m}$ 위의 열 방정식이다.

아드리안 다니얼 포커르(틀:Llang, 1887〜1972)와 막스 플랑크가 도입하였다.