레비 확률 과정

틀:위키데이터 속성 추적 확률론에서 레비 확률 과정(Lévy確率過程, 틀:Llang)은 모든 증분들이 서로 독립이며 정상적이며, 또한 어떤 연속성 조건을 만족시키는 확률 과정이다.

정의

확률 연속 확률 과정

$S$가 균등 위상에 대한 보렐 가측 공간으로 간주한 어떤 균등 공간이라고 하자. $T$가 어떤 위상 공간이라고 하자.

확률 과정 $(X_t:\mathrm{\Omega }\to S{)}_{t\in T}$이 다음 조건을 만족시킨다면, $X$를 확률 연속 확률 과정(確率連續確率過程, 틀:Llang)이라고 한다.

• $S$의 임의의 측근 ${\sim }_{ϵ}$ 및 임의의 $t\in T$에 대하여, $\underset{s\to t}{\lim }\mathrm{Pr}(X_s{\nsim }_{ϵ}{X}_t)=0$이다.

예를 들어, 만약 $S={ℝ}^d$가 유클리드 공간일 경우, 이 조건은 다음과 같다.

• 임의의 $ϵ>0$ 및 $t\in [0,\mathrm{\infty })$에 대하여, $\underset{s\to t}{\lim }\mathrm{Pr}(\Vert X_s-X_t\Vert >ϵ)=0$

무한 분해 가능 과정

$S$가 보렐 가측 공간으로 여겨진 위상군이라고 하자. $(T,\le )$가 전순서가 주어진 가환 모노이드(예를 들어, $[0,\mathrm{\infty })$, $\mathbb{N}$, $ℝ$, $\mathbb{Z}$ 등)라고 하자.

확률 과정 $(X_t:\mathrm{\Omega }\to S{)}_{t\in T}$이 다음 조건을 만족시킨다면, $X$를 무한 분해 가능 확률 과정(無限分解可能確率過程, 틀:Llang)이라고 한다.

• (증분의 독립성) 임의의 $t_0\le t_1\le t_2\le \cdots \le t_n$에 대하여, $\{X_{t_0}-X_{t_1},\dots ,X_{t_{n-1}}-X_n\}$은 서로 독립인 확률 변수의 족이다.
  • 특히, $t_i=t_{i+1}$일 경우, $X_{t_i}^{-1}{X}_{t_{i+1}}=0$은 상수이므로 자명하게 모든 확률 변수에 대하여 독립이다.
• (증분의 정상성) 임의의 $s\in T$에 대하여, $X_t^{-1}{X}_{s+t}$의 확률 분포는 $X_s$의 확률 분포와 같다.
  • 특히, $s=t$일 경우, $\mathrm{Pr}(X_0=1_S)=1$이다.

여기서 ‘증분’(틀:Llang)이란 $s,t\in T$에 대한 확률 변수 $X_t^{-1}{X}_{t+s}$를 뜻한다. 아벨 군에서 군 연산을 덧셈으로 표기할 경우, 이는 $X_{t+s}-X_t$와 같이 표기된다.

레비 과정

모든 위상군은 표준적인 균등 공간 구조를 갖는다.

위상군 $S$를 표본 공간으로 삼고, 음이 아닌 실수 집합 $[0,\mathrm{\infty })$를 지표 공간으로 삼은 확률 과정

$(X_t:\mathrm{\Omega }\to S{)}_{t\in [0,\mathrm{\infty })}$

이 확률 연속 확률 과정이자 무한 분해 가능 확률 과정이라면, 레비 확률 과정이라고 한다.

성질

모든 레비 확률 과정은 마르코프 과정이다.

레비-힌친 공식

$ℝ$ 값의 레비 확률 과정의 확률 분포는 다음과 같은 특성 함수에 의하여 주어진다.

$𝔼(\exp (\mathrm{i}\theta X(t)))=\exp \left(t(a\mathrm{i}\theta -\frac{1}{2}{\sigma }^2{\theta }^2+\underset{ℝ\setminus \{0\}}{\int }(\exp (\mathrm{i}\theta x)-1-\mathrm{i}\theta x[|x|<1])\mathrm{\Pi }(\mathrm{d}x))\right)$

여기서

• $a\in ℝ$는 상수이다. 이는 레비 확률 과정의 선형 이동을 나타낸다.
• ${\sigma }^2\in [0,\mathrm{\infty })$는 상수이다. 이는 레비 확률 과정의 위너 확률 과정 성분의 분산을 나타낸다.
• $[\dots ]$는 아이버슨 괄호이다.
• $\mathrm{\Pi }$는 $ℝ\setminus \{0\}$ 위의 시그마-유한 측도이다.

즉, 레비 확률 과정의 확률 분포는 $(a,{\sigma }^2,\mathrm{\Pi })$에 의하여 결정된다.

예

위너 확률 과정은 레비 확률 과정이다. 이 경우 $\mathrm{\Pi }$는 거의 어디서나 0이 된다.

역사

폴 피에르 레비의 이름을 땄다.

같이 보기

• 위너 확률 과정

참고 문헌

• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:매스월드