이중 사슬 복합체

틀:위키데이터 속성 추적 호몰로지 대수학에서 이중 사슬 복합체(二重사슬複合體, 틀:Llang)는 사슬 복합체와 유사하지만, 1차원 대신 2차원인 구조이다. 즉, 모든 항들은 두 개의 첨자를 달고 있으며, 각 항 위에는 수직 및 수평 방향의 두 개의 경계 사상이 정의되며, 이들은 서로 교환 법칙을 만족시켜야 한다. 이중 사슬 복합체 위에는 도롱뇽 정리(도롱[龍]定理, 틀:Llang) 및 그 특수한 경우인 3×3 정리(三×三定理, 틀:Llang) · 뱀 정리와 같은 정리들이 성립한다.

정의

아벨 범주 $𝒜$ 위의 사슬 복합체의 범주 ${\mathrm{Ch}}_{\bullet }(𝒜)$ 역시 아벨 범주이므로, 그 위의 사슬 복합체를 취할 수 있다. 이를 이중 사슬 복합체라고 한다.

구체적으로, 이중 사슬 복합체 $C_{\bullet ,\bullet }\in {\mathrm{Ch}}_{\bullet }({\mathrm{Ch}}_{\bullet }(𝒜))$는 다음과 같은 꼴이다.

$\begin{array}{ccccc}& & ⋮& & ⋮\\ & & \downarrow & & \downarrow \\ \cdots & \to & C_{m,n}& \stackrel{\underset{m,n}{\overset{\text{h}}{\partial }}}{\to }& C_{m-1,n}& \to & \cdots \\ & & {\partial }_{m,n}^{\text{v}}\downarrow {\partial }_{m,n}^{\text{v}}& & {\partial }_{m-1,n}^{\text{v}}\downarrow {\partial }_{m-1,n}^{\text{v}}\\ \cdots & \to & C_{m,n-1}& \to \underset{m,n-1}{\overset{\text{h}}{\partial }}& C_{m-1,n-1}& \to & \cdots \\ & & \downarrow & & \downarrow \\ & & ⋮& & ⋮\end{array}$

즉, 이는 수평 경계 사상(水平境界寫像, 틀:Llang)

$\underset{\bullet ,\bullet }{\overset{\mathrm{h}}{\partial }}:C_{\bullet ,\bullet }\to C_{\bullet -1,\bullet }$

및 수직 경계 사상(垂直境界寫像, 틀:Llang)

$\underset{\bullet ,\bullet }{\overset{\mathrm{v}}{\partial }}:C_{\bullet ,\bullet }\to C_{\bullet ,\bullet -1}$

을 가지며, 이들은 다음과 같은 관계를 만족시킨다.

$\underset{m-1,n}{\overset{\mathrm{h}}{\partial }}\circ \underset{m,n}{\overset{\mathrm{h}}{\partial }}=0$

$\underset{m,n-1}{\overset{\mathrm{v}}{\partial }}\circ \underset{m,n}{\overset{\mathrm{v}}{\partial }}=0$

$\underset{m-1,n}{\overset{\mathrm{v}}{\partial }}\circ \underset{m,n}{\overset{\mathrm{h}}{\partial }}=\underset{m,n-1}{\overset{\mathrm{h}}{\partial }}\circ \underset{m,n}{\overset{\mathrm{v}}{\partial }}$

전체 사슬 복합체

$𝒜$에서 가산 무한 직합이 존재한다고 할 때 (또는 정의에 등장하는 직합에서 오직 유한 개의 항들이 0이 아니라고 할 때), 이중 사슬 복합체 $C_{\bullet ,\bullet }\in {\mathrm{Ch}}_{\bullet }({\mathrm{Ch}}_{\bullet }𝒜))$의 전체 사슬 복합체(全體사슬複合體, 틀:Llang) ${\mathrm{Tot}}_{\bullet }(C)\in {\mathrm{Ch}}_{\bullet }(𝒜)$는 다음과 같은 사슬 복합체이다.

${\mathrm{Tot}}_n(C)=\underset{p+q=n}{⨁}{C}_{p,q}$

$\underset{n}{\overset{\mathrm{Tot}(C)}{\partial }}=\underset{p+q=n}{⨁}\underset{p,q}{\overset{\mathrm{h}}{\partial }}+(-{)}^p\underset{p,q}{\overset{\mathrm{v}}{\partial }}$

이는 사슬 복합체를 이루므로, 마찬가지로 호몰로지를 취할 수 있다. 이를 전체 호몰로지(틀:Llang)라고 한다.

이중 사슬 복합체의 다른 부호 규칙

문헌에 따라서, 이중 사슬 복합체를 표기할 때 위와 다른 부호 규칙을 사용하는 경우가 있다. 이 부호 규칙으로 전환하려면, 다음과 같은 변환을 가하자.

$\underset{m,n}{\overset{\mathrm{h}\prime }{\partial }}=\underset{m,n}{\overset{\mathrm{h}}{\partial }}$

$\underset{m,n}{\overset{\mathrm{v}\prime }{\partial }}=(-{)}^n\underset{m,n}{\overset{\mathrm{v}}{\partial }}$

즉, 홀수 번째 열들의 수직 경계 사상에 음부호를 붙인다. (물론, 대신 홀수 번째 행들의 수평 경계 사상에 음부호를 붙여도 비슷하다.)

그렇다면, 이들은 다음을 만족시킨다.

$\underset{m-1,n}{\overset{\mathrm{h}\prime }{\partial }}\circ \underset{m,n}{\overset{\mathrm{h}\prime }{\partial }}=0$

$\underset{m,n-1}{\overset{\mathrm{v}\prime }{\partial }}\circ \underset{m,n}{\overset{\mathrm{v}\prime }{\partial }}=0$

$\underset{m-1,n}{\overset{\mathrm{v}\prime }{\partial }}\circ \underset{m,n}{\overset{\mathrm{h}\prime }{\partial }}+\underset{m,n-1}{\overset{\mathrm{h}\prime }{\partial }}\circ \underset{m,n}{\overset{\mathrm{v}\prime }{\partial }}=0$

즉, 수평 경계 사상과 수직 경계 사상이 서로 교환 법칙 대신 반교환 법칙을 따르게 된다.

이렇게 하면, 전체 사슬 복합체의 정의가 다음과 같이 더 간단해진다.

$\underset{n}{\overset{\mathrm{Tot}(C)}{\partial }}=\underset{p+q=n}{⨁}\underset{p,q}{\overset{\mathrm{h}\prime }{\partial }}+\underset{p,q}{\overset{\mathrm{v}\prime }{\partial }}$

수직 · 수평 호몰로지

아벨 범주 $𝒜$ 위의 이중 사슬 복합체 $C_{\bullet ,\bullet }$가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 수평 호몰로지(垂直homology, 틀:Llang)

${\mathrm{H}}^{\mathrm{h}}=\frac{{\ker }^{\mathrm{h}}}{{\mathrm{im}}^{\mathrm{h}}}$

및 수직 호몰로지(水平homology, 틀:Llang)

${\mathrm{H}}^{\mathrm{v}}=\frac{{\ker }^{\mathrm{v}}}{{\mathrm{im}}^{\mathrm{v}}}$

를 정의할 수 있다.

교내 사상과 교외 사상

임의의 대상 $A=C_{m,n}$에 대하여, 다음 사상들이 존재한다.

$\begin{array}{cc}{\searrow }^{{\partial }^{\mathrm{vh}}}& \downarrow {\partial }^{\mathrm{h}}\\ \stackrel{{\partial }^{\mathrm{h}}}{\to }& A& \stackrel{{\partial }^{\mathrm{h}}}{\to }\\ & \downarrow {\partial }^{\mathrm{h}}& {\searrow }^{{\partial }^{\mathrm{vh}}}\end{array}$

위 그림에서, ${\partial }^{\mathrm{vh}}={\partial }^{\mathrm{h}}\circ {\partial }^{\mathrm{v}}={\partial }^{\mathrm{v}}\circ {\partial }^{\mathrm{h}}$는 수직 경계 사상과 수평 경계 사상을 합성한 것이다. 편의상, 다음과 같은 기호들을 정의하자.틀:Rp

용어	기호	정의
수평 호몰로지	${}_{=}A$	$\frac{\ker \underset{mn}{\overset{\mathrm{h}}{\partial }}}{\mathrm{im}\underset{m-1,n}{\overset{\mathrm{h}}{\partial }}}$
수직 호몰로지	$A^{\Vert }$	$\frac{\ker \underset{mn}{\overset{\mathrm{v}}{\partial }}}{\mathrm{im}\underset{m,n-1}{\overset{\mathrm{v}}{\partial }}}$
기증자(寄贈者, 틀:Llang)	$A_{◻}$	$\frac{\ker \underset{mn}{\overset{\mathrm{vh}}{\partial }}}{\mathrm{im}(\underset{m-1,n}{\overset{\mathrm{h}}{\partial }}\bigsqcup \underset{m,n-1}{\overset{\mathrm{v}}{\partial }})}$
수령자(受領者, 틀:Llang)	${◻}^{}A$	$\frac{\ker (\underset{mn}{\overset{\mathrm{v}}{\partial }}\times \underset{mn}{\overset{\mathrm{h}}{\partial }})}{\mathrm{im}\underset{m-1,n-1}{\overset{\mathrm{vh}}{\partial }}}$

이들의 기호를 위와 같이 이상하게 정의하는 이유는 다음 때문이다. 우선, ${}_{=}A$ · $A^{\Vert }$ · ${◻}^{}A$ · $A_{\bullet }$는 모두 $A$의 부분 대상들의 몫 대상이므로, 이들 사이에는 다음과 같은 사상들이 존재한다.

$\begin{array}{ccc}{}^{◻}A& \to & A^{\Vert }\\ \downarrow & & \downarrow \\ {}_{=}A& \to & A_{◻}\end{array}$

이는 다음과 같이 적을 수 있다.

$\stackrel{◻}{\downarrow =}\overrightarrow{A\to }\stackrel{\Vert }{\downarrow ◻}$

이 사상들을 교내 사상(校內寫像, 틀:Llang)이라고 하자.틀:Rp

또한, 수평 경계 사상

$A\to B$

이 주어졌으면, 다음과 같이 기증자에서 수령자로 가는 사상이 자연스럽게 유도된다.

$A_{◻}\to {}^{◻}B$

이는 다음과 같이 그릴 수 있다.

$A_{◻}\nearrow {}^{◻}B$

마찬가지로, 수직 경계 사상

$\begin{array}{c}A\\ \downarrow \\ B\end{array}$

이 주어졌으면, 다음과 같이 기증자에서 수령자로 가는 사상이 자연스럽게 유도된다.

$\begin{array}{c}{A}_{◻}\\ \downarrow \\ {}^{◻}B\end{array}$

이는 다음과 같이 그릴 수 있다.

$\begin{array}{c}{A}_{◻}\\ \swarrow \\ {}^{◻}B\end{array}$

이 사상들을 교외 사상(校外寫像, 틀:Llang)이라고 하자.틀:Rp

성질

도롱뇽 정리

이중 사슬 복합체 속의 임의의 부분

$\begin{array}{c}C\\ \downarrow \\ A& \to & B\\ & & \downarrow \\ & & D\end{array}$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 도롱뇽 정리에 따르면, 다음과 같은 6항 도롱뇽 완전열(도롱[龍]完全列, 틀:Llang)이 존재한다.틀:Rp

$\begin{array}{ccc}& & {}^{◻}A\\ & \nearrow & & \searrow \\ C_{◻}& & ⟶& & {}_{=}A\to A_{◻}\to {}^{◻}B\to {}_{=}B& & ⟶& & {}^{◻}D\\ & & & & & \searrow & & \nearrow \\ & & & & & & B_{◻}\end{array}$

여기서 삼각형들은 가환 삼각형이며, 위의 모든 사상들은 교내 사상 또는 교외 사상 또는 (완전열의 양끝의 경우) 교내 사상과 교외 사상의 합성이다.

이 완전열은 다음과 같이 그려질 수 있다.

$\begin{array}{c}{\mathrm{\backslash color}}_{◻}C\downarrow ◻\\ \swarrow \\ \stackrel{◻}{\downarrow }={A\to }_{◻}& \nearrow & \stackrel{◻}{\downarrow =}{B\to }_{◻}\\ & & \swarrow \\ & & \stackrel{◻}{\downarrow }D{\mathrm{\backslash color}}_{◻}\end{array}$

특히, 만약 ${}_{=}A\cong {}_{=}B\cong 0$이라면, 교외 사상 $A_{◻}\to {}^{◻}B$는 동형 사상이다.

마찬가지로, 이중 사슬 복합체 속의 임의의 부분

$\begin{array}{ccc}C& \to & A\\ & & \downarrow \\ & & B& \to & D\end{array}$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 6항 도롱뇽 완전열이 존재한다.

$\begin{array}{ccc}& & {}^{◻}A\\ & \nearrow & & \searrow \\ C_{◻}& & ⟶& & A^{\Vert }\to A_{◻}\to {}^{◻}B\to B^{\Vert }& & ⟶& & {}^{◻}D\\ & & & & & \searrow & & \nearrow \\ & & & & & & B_{◻}\end{array}$

이 완전열은 다음과 같이 그려질 수 있다.

$\begin{array}{ccc}{\mathrm{\backslash color}}_{◻}C\downarrow ◻& \nearrow & {}^{{}^{◻}}\overrightarrow{A}\stackrel{\Vert }{\downarrow ◻}\\ & & \swarrow \\ & & {}^{{}^{◻}}\overrightarrow{B}\stackrel{\Vert }{\downarrow ◻}& \nearrow & \stackrel{◻}{\downarrow }D{\mathrm{\backslash color}}^{◻}\end{array}$

특히, 만약 $A^{\Vert }\cong B^{\Vert }\cong 0$이라면, 교외 사상 $A_{◻}\to {}^{◻}B$는 동형 사상이다.

n×n 정리

아벨 범주에서, 다음과 같은 이중 사슬 복합체가 주어졌다고 하자.

$\begin{array}{ccccccc}& & 0& & 0& & 0\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 0& \to & A& \to & B& \to & C\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 0& \to & D& \to & E& \to & F\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 0& \to & G& \to & H& \to & I\end{array}$

또한, 다음 조건들이 주어졌다고 하자.

• 첫째 · 둘째 · 셋째 열이 완전열이다.
• 둘째 · 셋째 행이 완전열이다.

3×3 정리에 따르면, 첫째 열 또한 완전열이다.틀:Rp

도롱뇽 완전열을 통한 증명:틀:Rp

${}_{=}A\cong {}_{=}B\cong 0$임을 보이면 족하다.

가정에 따라서, 모든 열이 완전열이므로

$X^{\Vert }\cong 0(X\in \{A,B,D,E\})$

이다. 또한, 둘째 · 셋째 행이 완전열이므로

${}_{=}X\cong 0(X\in \{D,E,G,H\})$

이다. 도롱뇽 정리에 따라서, 다음과 같은 교외 사상들은 모두 동형 사상이다.

$\begin{array}{ccccc}& & 0_{◻}& & 0_{◻}\\ & & \swarrow & & \swarrow & & \\ 0_{◻}& & {}^{◻}{A}_{◻}& & {}^{◻}{B}_{◻}\\ & & \swarrow & & \swarrow & & \\ 0_{◻}& \nearrow & {}^{◻}{D}_{◻}& \nearrow & {}^{◻}{E}_{◻}\\ & & \swarrow & & & & \\ 0_{◻}& \nearrow & {}^{◻}{G}_{◻}\end{array}$

물론, $0_{◻}\cong 0$이므로, 이를 따라서 교외 사상의 지그재그로 연결된 ${◻}^{}D,A_{◻},{}^{◻}G,D_{◻},\dots$ 등이 모두 0임을 알 수 있다.

이제, ${◻}^{}A\cong A_{◻}\cong {}^{◻}B\cong B_{◻}\cong 0$이므로, 다음과 같은 도롱뇽 완전열으로부터 ${}_{=}A\cong {}_{=}B\cong 0$임을 알 수 있다.

$\begin{array}{c}{\mathrm{\backslash color}}_{◻}{0}_{◻}\\ \swarrow \\ \stackrel{◻}{\downarrow }={A\to }_{◻}& \nearrow & \stackrel{◻}{\downarrow =}{B\to }_{◻}\\ & & \swarrow \\ & & {}^{◻}E{\mathrm{\backslash color}}_{◻}\end{array}$

뱀 완전열을 통한 증명:

처음 두 행에 대하여 뱀 정리를 적용한다. 모든 열이 짧은 완전열이므로, 핵들은 모두 0이 된다.

보다 일반적으로, $n\times n$ 정리에 따르면, 임의의 자연수 $n$에 대하여, $n\times n$개의 대상을 갖는 이중 사슬 복합체

$\begin{array}{ccccc}& & 0& & 0\\ & & \downarrow & & \downarrow \\ 0& \to & A_{n-1,n-1}& \to \cdots \to & A_{0,n-1}\\ & & \downarrow & & \downarrow \\ & & ⋮& \ddots & ⋮\\ & & \downarrow & & \downarrow \\ 0& \to & A_{n-1,n-1}& \to \cdots \to & A_{0,0}\end{array}$

가 주어졌을 때, 만약

• 모든 열이 완전열이며,
• 첫째 행을 제외한 나머지 행들이 완전열이라면,

첫째 행 또한 완전열이다.

증명:

그 증명은 3×3의 경우와 동일하다. 즉, 대략

• 교외 사상들의 지그재그를 통해, ${}_{◻}(-)\cong (-{)}^{◻}\cong 0$임을 보인다.
• 첫째 행의 각 수평 경계 사상에 대한 도롱뇽 완전열을 사용하여, 그 수평 호몰로지가 0임을 보인다.

(물론, 0×0 및 1×1 및 2×2인 경우는 자명하게 참이다.)

예

사슬 복합체의 텐서곱

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$ 위의 $(A,A)$-쌍가군들의 아벨 범주 ${\mathrm{Ch}}_{\bullet }{(}_A{\mathrm{Mod}}_A)$ 를 생각하자. 이 속에서, 두 사슬 복합체

$C_{\bullet },D_{\bullet }\in {\mathrm{Ch}}_{\bullet }{(}_A{\mathrm{Mod}}_A)$

가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 각 성분별 텐서곱을 통해, 다음과 같은 이중 사슬 복합체 $E_{\bullet ,\bullet }$를 정의할 수 있다.

$E_{m,n}=C_m{\otimes }_A{D}_n$

$\underset{m,n}{\overset{\mathrm{h},E}{\partial }}:\underset{m,n}{\overset{\mathrm{h},E}{\partial }}\to \underset{m-1,n}{\overset{\mathrm{h},E}{\partial }}$

$\underset{m,n}{\overset{\mathrm{h},E}{\partial }}=\underset{m}{\overset{C}{\partial }}\otimes {\mathrm{id}}_{D_n}$

$\underset{m,n}{\overset{\mathrm{v},E}{\partial }}:\underset{m,n}{\overset{\mathrm{h},E}{\partial }}\to \underset{m,n-1}{\overset{\mathrm{h},E}{\partial }}$

$\underset{m,n}{\overset{\mathrm{v},E}{\partial }}={\mathrm{id}}_{C_m}\otimes \underset{n}{\overset{D}{\partial }}$

이 이중 사슬 복합체의 전체 사슬 복합체는 두 사슬 복합체의 텐서곱

$(C\otimes D{)}_{\bullet }={\mathrm{Tot}}_{\bullet }(E)=\underset{p+q=\bullet }{⨁}{C}_p{\otimes }_A{D}_q$

과 같다.

순환 호몰로지

틀:본문 순환 호몰로지는 어떤 특별한 이중 복합체의 전체 호몰로지로서 정의된다.

역사

책을 장식하는 도롱뇽 그림 (1920년대, 미국)

3×3 정리는 9개의 대상이 3×3 행렬로 배열되어 있으므로 이러한 이름이 붙었다. 데이비드 북스바움은 1955년 논문에서 아벨 범주의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 이미 3×3 정리가 등장한다.틀:Rp

1971년에 칼 에릭 린더홀름(틀:Llang)은 농으로 3×3 정리의 (올바른) 증명을 다음과 같이 묘사하였다. 틀:인용문2

도롱뇽 정리 및 “교내 사상” · “교외 사상”이라는 용어는 조지 마크 버그먼(틀:Llang, 1943~)이 1970년대에 도입하였다. “도롱뇽 정리”라는 이름은 이에 등장하는, S자 또는 갈지자 (之) 모양의 사상들의 열을 몸을 굽히며 움직이는 도룡뇽에 비유한 것이다. “교내 사상” · “교외 사상”이라는 용어는 이는 같은 기호 $A$의 각 첨자 $\underset{◻}{\overset{}{=}}{A}_{◻}^{\Vert }$를 “학교”로 여길 경우, 교내 사상

$\stackrel{◻}{\downarrow =}\overrightarrow{A\to }\stackrel{\Vert }{\downarrow ◻}$

은 같은 “학교” 안의 대상들을 잇지만, 교외 사상

$A_{◻}\nearrow {}^{◻}B$

은 서로 다른 “학교”에 속하는 대상들을 잇기 때문이다.

외부 링크

• 틀:매스월드
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