군의 표시

틀:위키데이터 속성 추적 틀:구별 군론에서, 군의 표시(表示, 틀:Llang)는 주어진 군을 생성원과 이들 사이의 관계식들을 통해 구체적으로 적는 방법이다.

정의

표시는 다음과 같은 순서쌍 $⟨ S | R ⟩$ 이다.

이 순서쌍에 의하여 표시되는 군은 다음과 같다.

⟨ S | R ⟩ = Free (S) / Free (S)^{- 1} R Free (S)

여기서

$Free (S)$ 는 $S$ 로부터 생성되는 자유군이다.
$Free (S)^{- 1} R Free (S)$ 는 $R$ 를 포함하는 $Free (S)$ 의 최소의 정규 부분군이다. 이는 $R$ 와 $R^{- 1}$ 의 켤레 원소들의 유한 곱들로 구성된다.

표시된 두 군 $⟨ S | R ⟩$ , $⟨ T | Q ⟩$ 의 자유곱은 다음과 같다.

⟨ S | R ⟩ * ⟨ T | Q ⟩ = ⟨ S \cup T | R \cup Q ⟩

표시된 두 군 $⟨ S | R ⟩$ , $⟨ T | Q ⟩$ 의 직접곱은 다음과 같다.

⟨ S | R ⟩ \times ⟨ T | Q ⟩ = ⟨ S \cup T | R \cup Q \cup {r q r^{- 1} q^{- 1} : r \in R, q \in Q} ⟩

대표적인 군들의 표시는 다음과 같다.

군	표시	비고
자명군	$⟨ \| ⟩$
자유군	$⟨ S \| ⟩$	집합 $S$ 에 대하여, $S$ 로부터 생성되는 자유군
자유 아벨 군	$⟨ S \| {a b a^{- 1} b^{- 1} : a, b \in S} ⟩$	계수가 $\| S \|$ 인 자유 아벨 군
순환군 $Z_{n}$	$⟨ a \| a^{n} ⟩$
대칭군 $Sym (n)$	$⟨ σ_{1}, \dots, σ_{n} \| σ_{i}^{2}, σ_{i} σ_{j} σ_{i}^{- 1} σ_{j}^{- 1} (j \neq i \pm 1), (σ_{i} σ_{i + 1})^{3} ⟩$
정사면체군	$⟨ s, t \| s^{2}, t^{3}, (s t)^{3} ⟩$
정팔면체군	$⟨ s, t \| s^{2}, t^{3}, (s t)^{4} ⟩$
정이십면체군	$⟨ s, t \| s^{2}, t^{3}, (s t)^{5} ⟩$
사원수군	$⟨ i, j \| j i j i^{- i}, i j i j^{- 1} ⟩$