갈루아 확대

틀:위키데이터 속성 추적 갈루아 이론에서 갈루아 확대(Galois擴大, 틀:Llang)는 갈루아 군이 잘 정의될 수 있는 체의 확대이다.

정의

갈루아 확대는 다음 세 조건을 만족시키는 체의 확대이다.

• 대수적 확대이다.
• 정규 확대이다. 즉, 기약 다항식 $p\in K[x]$의 근 가운데 적어도 하나가 $L$에 포함된다면, $p$의 모든 근들이 $L$에 포함된다.
• 분해 가능 확대이다. 즉, 모든 $a\in L$에 대한 최소 다항식의 각 기약 인자들의 근들이 서로 겹치지 않는다.

성질

유한 확대 $L/K$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. 이 정리는 에밀 아르틴이 증명하였다.

• $L/K$는 갈루아 확대이다.
• $L/K$는 정규 분해 가능 확대이다.
• $L$은 근이 겹치지 않는 (즉, 분해 가능한) 어떤 다항식 $p\in K[x]$의 분해체이다.
• $[L:K]=|\mathrm{Aut}(L/K)|$이다. 즉, 체의 확대의 차수 $[L:K]={\dim }_{K}L$는 체의 확대의 자기동형군의 크기와 같다.

예

유리수체 $\mathbb{Q}$의 확대들을 생각하자.

• $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$는 갈루아 확대이다.
• $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$는 정규 확대가 아니므로 갈루아 확대가 아니다. 이는 $x^3-2\in \mathbb{Q}[x]$의 세 근 가운데 오직 하나만을 포함한다.
• $\mathbb{Q}(\pi )$는 대수적 확대가 아니므로 갈루아 확대가 아니다. 이는 원주율 $\pi$가 초월수이기 때문이다.

(유리수체는 완전체이므로, 유리수의 모든 대수적 확대는 분해 가능 확대이다.)

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab