토드 특성류

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 위상수학에서 토드 특성류(Todd特性類, 틀:Llang)는 히르체브루흐-리만-로흐 정리 및 아티야-싱어 지표 정리에 등장하는 특성류이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 파라콤팩트 공간 $X$
• $X$ 위의 복소수 벡터 다발 $E$
  • ${\dim }_{ℂ}E=n$이라고 하자.

분할 원리(틀:Llang)에 의하여, $E$의 특성류는 $E$가 복소수 선다발들의 직합 $L_1\oplus \cdots \oplus L_n$인 것처럼 볼 때, 이들의 천 특성류 $x_i={\mathrm{c}}_1(L_i)$에 대한 대칭 다항식으로 정의된다. (물론 이 ‘선다발’ $L_i$는 존재하지 않을 수 있다.)

토드 특성류 $\mathrm{Td}(E)\in H^{\bullet }(X;\mathbb{Q})$는 $E$의 특성류의 하나로, 유리수 계수의 코호몰로지류이며, 구체적으로 다음과 같은 대칭 다항식으로 주어진다.

$\mathrm{Td}(E)=\prod _{i=1}^n\frac{x_i}{1-\exp (-x_i)}=\prod _{i=1}^n(1+\frac{1}{2}{x}_i+\frac{1}{12}{x}_i^2-\frac{1}{720}{x}_i^4+\cdots )\in {\mathrm{H}}^{\bullet }(M;\mathbb{Q})$

천 특성류 $c_i$는 이와 같이 다항식으로 정의하면 다음과 같다.

$c=c_1+c_2+c_3+\cdots =\prod _{i=1}^n(1+x_i)$

이를 사용하여 쓰면, 토드 특성류는 다음과 같다.

$\mathrm{Td}(E)=1+\frac{1}{2}{\mathrm{c}}_1(E)+\frac{1}{12}({\mathrm{c}}_1(E{)}^2+{\mathrm{c}}_2(E))+\frac{1}{24}{\mathrm{c}}_1(E){\mathrm{c}}_2(E)+\frac{1}{720}(-{\mathrm{c}}_1(E{)}^4+4{\mathrm{c}}_1(E{)}^2{\mathrm{c}}_2(E)+{\mathrm{c}}_1(E){\mathrm{c}}_3(E)+3{\mathrm{c}}_2(E{)}^2-{\mathrm{c}}_4(E))+\cdots$

성질

벡터 다발의 직합의 토드 특성류는 각 성분의 토드 특성류의 합곱이다.

$\mathrm{Td}(E\oplus F)=\mathrm{Td}(E)⌣\mathrm{Td}(F)$

역사

영국의 수학자인 존 아서 토드(틀:Llang)가 1937년 도입하였다. 이는 최초로 발견된 특성류의 하나이며, 천싱선이 천 특성류를 1946년 도입하기 오래 전에 발견되었다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Nlab