아인슈타인 다양체

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 아인슈타인 다양체(Einstein多樣體, 틀:Llang)는 리치 곡률 텐서가 계량 텐서와 비례하는 준 리만 다양체다.

정의

준 리만 다양체 $(M,g)$가 주어졌을 때, 그 리치 곡률 $\mathrm{Ric}$을 정의할 수 있다. 이는 (0,2)차 텐서장이다. 만약 다음 조건을 만족시키는 상수 $k\in ℝ$가 존재한다면, $(M,g)$를 아인슈타인 다양체라고 한다.

${\mathrm{Ric}}_{\mu \nu }=k{g}_{\mu \nu }$

여기서 물론 $k=(g^{\mu \nu }{\mathrm{Ric}}_{\mu \nu })/(\dim M)=(\mathrm{tr}\mathrm{Ric})/(\dim M)$이다. 즉, 만약 리치 곡률 텐서에서 대각합 성분을 제거한 텐서

$\widetilde{\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}}=\mathrm{Ric}-\frac{1}{\dim M}(\mathrm{tr}\mathrm{Ric})g$

를 정의한다면, 다양체가 아인슈타인 다양체일 필요 충분 조건은 무대각합 리치 곡률 텐서가 0인 것이다.

$\widetilde{\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}}=0$

켈러 다양체나 사사키 다양체가 위 조건을 만족시키는 경우, 켈러-아인슈타인 다양체 또는 사사키-아인슈타인 다양체라고 부른다.

성질

매끄러움

임의의 리만 다양체 $(M,g)$에서, 국소적으로 조화 좌표계를 사용할 수 있다. 즉, 좌표 함수 $x^1,\dots ,x^n$에 대하여

$\mathrm{\Delta }{x}^i=0$

이다. (여기서 $\mathrm{\Delta }$는 라플라스-벨트라미 연산자이다.) 이 좌표계에서 진공 아인슈타인 방정식은

$-\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }{g}_{ij}+Q(g,\partial g)=k{g}_{ij}$

의 꼴이며, $Q$는 $g$와 $\partial g$에 대한 2차 형식이다. 리만 계량이 양의 정부호라면, 이는 타원형 편미분 방정식이므로, 그 해는 매끄러운 함수이다.틀:Rp

호몰로지

임의의 콤팩트 아인슈타인 리만 다양체에 대하여, 다음과 같은 성질이 성립한다.

• 오일러 지표가 음수가 아니다. 구체적으로, 2차 특이 호몰로지의 교차 형식의 부호수가 $\tau$이며, 오일러 지표가 $\chi$라면, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

  $|\tau |\le \frac{2}{3}\chi$

응용

일반 상대성 이론에서, 시공간의 차원이 3 이상일 때, 우주 상수 $\mathrm{\Lambda }$를 가진 진공 해는 아인슈타인 다양체에 해당한다. 물질의 에너지-운동량 텐서가 0인 경우, 아인슈타인 방정식은 다음과 같다.

$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }{g}^{\rho \sigma }{R}_{\rho \sigma }+g_{\mu \nu }\mathrm{\Lambda }=0$

따라서

$R_{\mu \nu }=\frac{2\mathrm{\Lambda }}{n-2}{g}_{\mu \nu }$

임을 알 수 있다. 여기서 $n=\dim M$ (시공간의 차원)이다. 즉, $n>2$인 경우, 일반 상대성 이론에서의 진공은 $k=2\mathrm{\Lambda }/(n-2)$인 준 리만 아인슈타인 다양체를 이룬다.

예

모든 1차원 준 리만 다양체는 (리치 곡률 텐서가 0이므로) 아인슈타인 다양체이다. 모든 2차원 준 리만 다양체는 아인슈타인 다양체이다. 이 경우, $k$는 가우스 곡률이다.

초구와 평면, 쌍곡공간 모두 아인슈타인 다양체다. 마찬가지로, 로런츠 계량 부호수에서는 더 시터르 공간과 민코프스키 공간, 반 더 시터르 공간 모두 아인슈타인 다양체다.

푸비니-슈투디 계량을 갖춘 복소수 사영 공간은 아인슈타인 다양체다. 모든 사원수 켈러 다양체는 아인슈타인 다양체다. 또한, 칼라비-야우 다양체나 초켈러 다양체는 (리치 곡률이 0이므로) $k=0$인 아인슈타인 다양체다.

반례

다음과 같은 다양체 위에는 임의의 양의 정부호 리만 계량을 주더라도 아인슈타인 다양체로 만들 수 없다.

• ${𝕊}^1\times {𝕊}^2$틀:Rp
• ${𝕊}^1\times {𝕊}^3$틀:Rp
• ${𝕋}^4\mathrm{\#}{𝕋}^4$ (두 4차원 원환면의 연결합)틀:Rp
• $\underset{n}{\underbrace{ℂ{\mathrm{P}}^2\mathrm{\#}\cdots \mathrm{\#}ℂ{\mathrm{P}}^2}}$, $n\ge 4$틀:Rp

외부 링크

• 틀:Nlab