오일러 부등식

틀:위키데이터 속성 추적 오일러의 부등식(틀:Llang, Euler's inequality, -不等式)은 스위스의 수학자인 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 부등식이다. 이는 임의의 삼각형 ABC에 대하여 각각 R과 r을 그 외접원과 내접원의 반지름의 길이라고 할 때, 다음 부등식을 이른다. 등식이 성립할 필요충분조건은 ABC가 정삼각형인 것이다.^[1]

이와 동치인 형태로, a, b, c가 ABC의 세 변의 길이이며 $s : = \frac{a + b + c}{2}$ 라고 할 때, 다음 부등식을 오일러의 부등식이라 하기도 한다.^[1]

이 두 식이 동치임은 쉽게 보일 수 있다.^[1] 아래 부등식의 우변은 헤론의 공식과 R과 r에 대해 $S = \frac{a b c}{4 R}$ 과 $S = r s$ 가 성립함을 이용하여 이를 대입하고 정리하기만 하면 된다.

증명 1 (오일러 삼각형 정리)

이 부등식은 삼각형 기하학에 대한 오일러 삼각형 정리로 불리는 다음 등식을 이용하면 자명하다.

여기서 d는 임의의 삼각형 ABC에 대해 외접원과 내접원 사이의 거리이다. d=0이 되는 경우는 ABC가 정삼각형이 될 때뿐인데, 이 경우 정확하게 R=2r이 성립하므로 모든 경우에 대해 $R - 2 r \geq 0$ 을 얻는다.

오일러의 부등식은 오일러 삼각형 정리와 관계없이 독립적으로 증명할 수도 있다.^[1] 식의 변형을 위해서는 아래의 동치 형태를 증명하는 것이 편하다.

a b c \geq 8 (s - a) (s - b) (s - c)

이것을 증명하기 위해 먼저 a, b, c가 삼각형의 세 변의 길이이므로 적당한 양의 실수 $x, y, z$ 가 존재하여 $a = x + y, b = y + z, c = z + x$ 로 치환할 수 있다. 그러면 이 부등식은 다음과 같이 된다.

(y + z) (z + x) (x + y) \geq 8 x y z

그런데 산술-기하 평균 부등식에 의해 $y + z \geq 2 \sqrt{y z}, z + x \geq 2 \sqrt{z x}, x + y \geq 2 \sqrt{x y}$ 가 성립하므로, 이 세 식을 변변 곱하면 위 부등식이 성립한다.