비교 판정법

틀:위키데이터 속성 추적 틀:미적분학 미적분학에서 비교 판정법(比較判定法, 틀:Llang)은 음이 아닌 실수 항의 급수의 수렴 여부를 판단하는 방법의 하나다. 이에 따르면, 만약 어떤 양항 급수가 어떤 수렴하는 양항 급수보다 작은 항들로 이루어졌다면, 이 급수 역시 수렴한다.

정의와 증명

급수

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

$n_{0} \in {0, 1}$
두 실수 항 급수 $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} a_{n}$ 와 $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} b_{n}$

또한, 다음 조건이 성립한다고 하자.

충분히 큰 $n$ 에 대하여, $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ (즉, 어떤 $N \geq n_{0}$ 및 모든 $n > N$ 에 대하여, $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ )

그렇다면, 다음 두 가지가 성립한다.

만약 $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} b_{n}$ 이 수렴한다면, $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} a_{n}$ 역시 수렴한다.
만약 $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} a_{n}$ 이 발산한다면, $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} b_{n}$ 역시 발산한다.

이를 비교 판정법이라고 한다. 틀:증명 두 명제는 서로 대우다. 따라서 첫 번째를 증명하면 충분하다. 급수의 유한 개의 항을 변경하는 것은 급수의 수렴 여부에 영향을 미치지 않으므로, 편의상 모든 $n \geq n_{0}$ 에 대하여 $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ 이라고 가정할 수 있다. 음이 아닌 실수 항의 급수가 수렴할 필요충분조건은 부분합 수열이 유계 수열인 것이다. 즉,

S_{n} = a_{n_{0}} + a_{n_{0} + 1} + \dots + a_{n}

이라고 하였을 때, 어떤 $M < \infty$ 및 임의의 $n \geq n_{0}$ 에 대하여

S_{n} \leq M

이어야 한다. (이는 실수의 완비성을 필요로 한다.) 이제, 마찬가지로

T_{n} = b_{n_{0}} + b_{n_{0} + 1} + \dots + b_{n}

이라고 하자. 만약 급수 $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} b_{n}$ 이 수렴한다면, 어떤 $M < \infty$ 및 임의의 $n \geq n_{0}$ 에 대하여

T_{n} \leq M

이다. 그런데 항상 $a_{n} \leq b_{n}$ 이므로

S_{n} \leq T_{n} \leq M

이다. 따라서 $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} a_{n}$ 역시 수렴한다. 틀:증명 끝

비교 판정법은 절대 수렴의 개념을 사용하여 서술할 수 있다. 구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

$𝕂 \in {ℝ, ℂ}$
$𝕂$ -바나흐 공간 $(V, ‖ \cdot ‖)$
$n_{0} \in {0, 1}$
V 항의 급수 ∑n=n0∞an와 ∑n=n0∞bn
- 만약 $V = (𝕂, | \cdot |)$ 라면, 이는 두 실수 또는 복소수 항 급수다.

또한, 다음 조건이 성립한다고 하자.

충분히 큰 n에 대하여, ‖an‖≤‖bn‖ (즉, 어떤 N≥n0 및 모든 n>N에 대하여, ‖an‖≤‖bn‖)
- 만약 $V = (𝕂, | \cdot |)$ 라면, 노름은 절댓값이며, $‖ a_{n} ‖ \leq ‖ b_{n} ‖$ 은 $| a_{n} | \leq | b_{n} |$ 이 된다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

만약 $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} b_{n}$ 이 절대 수렴한다면, $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} a_{n}$ 역시 절대 수렴한다.
만약 $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} a_{n}$ 이 절대 수렴하지 않는다면, $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} b_{n}$ 역시 절대 수렴하지 않는다.

두 번째 명제에서, $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} b_{n}$ 이 수렴하지 않는다고 결론 내릴 수 없다. 예를 들어, $a_{n} = b_{n} = \frac{(- 1)^{n - 1}}{n}$ 에 대응하는 급수는 조건 수렴한다. 비교 판정법은 노름 값을 취하는 실수선의 완비성에만 의존하므로, 바나흐 공간이 아닌 노름 공간에서도 성립한다. 하지만 이 경우, 절대 수렴하는 급수는 수렴할 필요가 없다. 틀:증명 비교 판정법의 이전 형태에서, $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} a_{n}$ 와 $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} b_{n}$ 을 $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} ‖ a_{n} ‖$ 와 $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} ‖ b_{n} ‖$ 으로 대체한다. 틀:증명 끝

이상 적분

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

$a \in ℝ$
두 실수 값 함수 $f, g : [a, \infty) \to ℝ$

또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

임의의 $b > a$ 에 대하여, $f$ 와 $g$ 는 $[a, b]$ 에서 리만 적분 가능하다.
어떤 $X \geq a$ 및 임의의 $x \geq X$ 에 대하여, $0 \leq f (x) \leq g (x)$

그렇다면, 다음 두 가지가 성립한다.

만약 이상 적분 $\int_{a}^{\infty} g (x) d x$ 가 수렴한다면, 이상 적분 $\int_{a}^{\infty} f (x) d x$ 역시 수렴한다.
만약 이상 적분 $\int_{a}^{\infty} f (x) d x$ 가 발산한다면, 이상 적분 $\int_{a}^{\infty} g (x) d x$ 역시 발산한다.

따름정리

극한 비교 판정법

틀:본문 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

$n_{0} \in {0, 1}$
두 실수 항 급수 $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} a_{n}$ 와 $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} b_{n}$

또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

충분히 큰 $n$ 에 대하여, $a_{n}, b_{n} \neq 0$
$0 < \underset{n \to \infty}{lim inf} \frac{a_{n}}{b_{n}} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{a_{n}}{b_{n}} < \infty$

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다.

급수 $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} a_{n}$ 이 수렴한다.
급수 $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} b_{n}$ 이 수렴한다.

기타

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

$n_{0} \in {0, 1}$
두 실수 항 급수 $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} a_{n}$ 와 $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} b_{n}$

또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

충분히 큰 $n$ 에 대하여, $a_{n}, b_{n} > 0$
충분히 큰 $n$ 에 대하여, $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \leq \frac{b_{n + 1}}{b_{n}}$

그렇다면, 어떤 $N \geq n_{0}$ 및 임의의 $n \geq N$ 에 대하여,

\begin{matrix} a_{n} & = a_{N} \cdot \frac{a_{N + 1}}{a_{N}} \cdot \frac{a_{N + 2}}{a_{N + 1}} \cdot \dots \cdot \frac{a_{n}}{a_{n - 1}} \\ \leq a_{N} \cdot \frac{b_{N + 1}}{b_{N}} \cdot \frac{b_{N + 2}}{b_{N + 1}} \cdot \dots \cdot \frac{b_{n}}{b_{n - 1}} \\ = \frac{a_{N}}{b_{N}} \cdot b_{n} \end{matrix}

이다. 만약 $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} b_{n}$ 이 수렴한다면, $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} \frac{a_{N}}{b_{N}} \cdot b_{n}$ 역시 수렴하며, 비교 판정법에 따라 $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} a_{n}$ 도 수렴한다. 그 대우로서, 만약 $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} a_{n}$ 이 발산한다면, $\sum_{n = n_{0}}^{\infty} b_{n}$ 도 발산한다.

예

급수

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{n - 2}}{e^{n} n!}

를 생각하자. $a_{n} = \frac{n^{n - 2}}{e^{n} n!}$ 라고 하였을 때,

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{(1 + 1 / n)^{n - 2}}{e} < \frac{(1 + 1 / n)^{n - 2}}{(1 + 1 / n)^{n}} = \frac{(n + 1)^{- 2}}{n^{- 2}}

이다. 급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 는 수렴하므로, #기타에 의하여 원래 급수는 수렴한다.

같이 보기

각주

틀:각주

참고 문헌

비교 판정법

목차

정의와 증명

급수

이상 적분

따름정리

극한 비교 판정법

기타

예

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