옌센 부등식

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 옌센 부등식(틀:Llang)은 기댓값의 볼록 함수와 볼록 함수의 기댓값 사이에 성립하는 부등식이다.

정의

열린구간 $(a,b)\subseteq ℝ$ 위의 볼록 함수 $f:(a,b)\to ℝ$ 및 실수 $x_1,\dots ,x_n\in \mathbb{(}a,b)$ 및 음이 아닌 실수 $p_1,\dots ,p_n\in [0,1]$ ($p_1+\cdots +p_n=1$)가 주어졌다고 하자. 옌센 부등식에 따르면, 다음이 성립한다.

$f(p_1{x}_1+p_2{x}_2+\cdots +p_n{x}_n)\le p_{1}f(x_1)+p_{2}f(x_2)+\cdots +p_{n}f(x_n)$

보다 일반적으로, 열린구간 $(a,b)\subseteq ℝ$ 위의 볼록 가측 함수 $f:((a,b),ℬ((a,b)))\to (ℝ,ℬ(ℝ))$ 및 확률 공간 $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathrm{Pr})$ 위의 확률 변수 $X:\mathrm{\Omega }\to ((a,b),ℬ((a,b)))$가 주어졌다고 하자. 옌센 부등식에 따르면, 만약 기댓값 $\mathrm{E}(X)$와 $\mathrm{E}(f(X))$가 존재한다면, 다음이 성립한다.틀:Rp틀:Rp

$f(\mathrm{E}(X))\le \mathrm{E}(f(X))$

여기서 $\mathrm{E}(-)$는 기댓값이다.

특수한 경우

산술-기하 평균 부등식

틀:본문 만약 $(a,b)=(0,\mathrm{\infty })$이며, $f=-\ln$일 경우, 옌센 부등식은 산술-기하 평균 부등식

$p_1{x}_1+p_2{x}_2+\cdots +p_n{x}_n\ge x_1^{p_1}{x}_2^{p_2}\cdots x_n^{p_n}$

이다.

영의 부등식

틀:본문 만약 $(a,b)=(0,\mathrm{\infty })$이며, $f=-\ln$이며, $n=2$이며, $p_1=\frac{1}{p}$, $p_2=\frac{1}{q}$ ($\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$)일 경우, 옌센 부등식은 영의 부등식

$\frac{x}{p}+\frac{y}{q}\ge x^{1/p}{y}^{1/q}$

이다.

멱함수

양의 실수 $p\in [1,\mathrm{\infty })$에 대하여, 만약 $(a,b)=(0,\mathrm{\infty })$이며, $f:x\mapsto x^p$이며, $p_i=\frac{1}{n}$일 경우, 옌센 부등식은

$(|x_1|+|x_2|+\cdots +|x_n|{)}^p\le n^{p-1}(|x_1{|}^p+|x_2{|}^p+\cdots +|x_n{|}^p)$

이다.

양의 실수 $p\in (0,1)$에 대하여, 만약 $(a,b)=(0,\mathrm{\infty })$이며, $f:x\mapsto -x^p$이며, $p_i=\frac{1}{n}$일 경우, 옌센 부등식은

$(|x_1|+|x_2|+\cdots +|x_n|{)}^p\ge n^{p-1}(|x_1{|}^p+|x_2{|}^p+\cdots +|x_n{|}^p)$

이다.

역사

요한 옌센(틀:Llang)의 이름을 땄다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드