상극한과 하극한

수열의 상극한과 하극한. 파란 선은 수열 $x_n$이고, 두 빨간 곡선은 수열의 경계이며 $x_n$의 상극한과 하극한(검은 선)으로 수렴한다.

수학에서, 수열의 상극한(上極限, 틀:Llang)과 하극한(下極限, 틀:Llang)은 간단히 말하면 일종의 수열의 경계의 극한이다. 함수의 상극한과 하극한도 이와 비슷하다. 집합의 극한점의 상한·하한으로 생각할 수도 있다. 상극한의 기호는 $\mathrm{lim\; sup}$ 또는 $\bar{\lim }$이며, 하극한의 기호는 $\mathrm{lim\; inf}$ 또는 $\underset{―}{\lim }$이다.

정의

상극한과 하극한은 기본적으로 부분 순서를 갖춘 위상 공간 속의 점렬 및 그 일반화에 대하여 정의되는 개념이다. 위상수학에서, 점렬의 개념은 그물과 필터(또는 필터 기저)로 일반화된다. 필터는 집합족의 일종이며, 상극한·하극한의 개념은 임의의 집합족에 대하여 일반화된다.

또한, 임의의 함수 $f:X\to Y$ 및 임의의 점 $x_0\in X$가 주어졌을 때, $f$가 $x_0$의 근방에서 취하는 값들의 집합족을 정의할 수 있으며, 이를 통해 함수 $f$의, 특정한 점 $x_0\in X$에서의 상극한·하극한을 정의할 수 있다.

집합족

$Y$가 완비 격자라고 하자. $Y$ 속의 집합족 $ℬ\subseteq 𝒫(Y)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $Y$의 부분 집합

$\{\sup B:B\in ℬ\}$

$\{\inf B:B\in ℬ\}$

을 정의할 수 있다. 만약 $ℬ$가 하향 집합족라면 이들 역시 하향 집합이며, 만약 $ℬ$가 상집합이라면 이들 역시 상집합이다. 즉, 만약 $ℬ$가 필터라면 이들 역시 필터이다.

증명:

$ℬ$가 하향 집합족이라고 하면, 임의의 $B_1,B_2\in ℬ$에 대하여, $B_3\subseteq B_1\cap B_2$인 $B_3\in ℬ$가 존재한다. 그렇다면 $\sup B_3\le \sup (B_1\cap B_2)\le (\sup B_1)\wedge (\sup B_2)$이다.

$ℬ$가 상집합이며, 임의의 $B\in ℬ$ 및 $y\in Y$에 대하여, $\sup B\le y$라고 하자. 그렇다면 $B\cup \{y\}\in ℬ$이며 $\sup (B\cup \{y\})=y$이다.

이제, $Y$에 추가로 하우스도르프 위상이 부여되었다고 하고, $ℬ$가 하향 집합족이라고 하자. 그렇다면,

$\sup :ℬ\to Y$

$\sup :(B\in ℬ)\to \sup B$

는 그물을 이룬다. 만약 이 그물이 수렴한다면, $ℬ$의 상극한은 이 그물의 극한이다.

$\mathrm{lim\; sup}ℬ=\underset{B\to \mathrm{\perp }}{\lim }\sup B$

마찬가지로, $ℬ\subseteq 𝒫(Y)$가 상향 집합족이라고 하자. 그렇다면,

$\inf :ℬ\to Y$

$\inf :(B\in ℬ)\mapsto \inf B$

는 그물을 이룬다. 만약 이 그물이 수렴한다면, $ℬ$의 하극한은 이 그물의 극한이다.

$\mathrm{lim\; inf}ℬ=\underset{B\to \mathrm{\top }}{\lim }\inf B$

그물과 점렬

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 부분 순서가 주어진 위상 공간 $Y$
• 상향 원순서 집합 $(I,\lesssim )$
• $Y$ 위의 그물 $y:I\to Y$

그렇다면, 그물 $y$의 꼬리들의 필터 기저

$\mathrm{tail}(y)=\{\{y_i:i\le i_0\}:i_0\in I\}$

를 생각하자. 그물 $y$의 상극한 및 하극한은 필터 기저 $\mathrm{tail}(y)$ (또는 이로부터 생성되는 필터)의 상극한·하극한이다.

$\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{y}_i=\mathrm{lim\; sup}\mathrm{tail}(y)$

$\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{y}_i=\mathrm{lim\; inf}\mathrm{tail}(y)$

특히, $Y$의 점렬 $y:\mathbb{N}\to Y$은 그물의 특수한 경우이므로, 그 상극한·하극한이 정의된다.

특히, $Y$가 순서 위상이 부여된 전순서 집합이며, 모든 상한과 하한이 존재한다고 하자 (예를 들어, 확장된 실수 $Y=\overline{ℝ}=[-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$). 그렇다면, 상극한·하극한의 정의는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{y}_i=\underset{i_0\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{i\ge i_0}{\sup }{y}_i=\underset{i_0\in I}{\inf }\underset{i\ge i_0}{\sup }{y}_i$

$\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{y}_i=\underset{i_0\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{i\ge i_0}{\inf }{y}_i=\underset{i_0\in I}{\sup }\underset{i\ge i_0}{\inf }{y}_i$

함수

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 부분 순서가 주어진 위상 공간 $Y$
• 위상 공간 $X$
• 함수 $f:X\to Y$
• 점 $x_0\in X$

그렇다면, 다음과 같은 집합족을 생각할 수 있다.

$B_{f,x_0,U}=f(U\setminus \{x_0\})=\{f(x):x\in U\setminus \{x_0\}\}$

${ℬ}_{f,x_0}=\{B_{f,U,x_0}:U\in {𝒩}_{X,x_0}\}$

여기서 ${𝒩}_{X,x_0}$는 $x_0\in X$의 근방 필터이다. 즉, $x_0$의 근방에서 $f$가 취하는 값들의 집합족이다. ${ℬ}_{f,x_0}$는 $Y$ 속의 필터를 이룬다.

$f$의 $x_0\in X$에서의 상극한 $\underset{x\to x_0}{\mathrm{lim\; sup}}f(x)$과 하극한 $\underset{x\to x_0}{\mathrm{lim\; inf}}f(x)$은 각각 필터 ${ℬ}_{f,x_0}$의 상극한과 하극한이다.

$\underset{x\to x_0}{\mathrm{lim\; sup}}f(x)=\mathrm{lim\; sup}{ℬ}_{f,x_0}$

$\underset{x\to x_0}{\mathrm{lim\; inf}}f(x)=\mathrm{lim\; inf}{ℬ}_{f,x_0}$

특히, 만약 $Y$가 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합이라고 하자 (예를 들어, 확장된 실수 $Y=\overline{ℝ}=[-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$). 그렇다면 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\underset{x\to x_0}{\mathrm{lim\; sup}}f(x)=\underset{U\in {𝒩}_{X,x_0}}{\inf }\sup f(U\setminus \{x_0\})$

$\underset{x\to x_0}{\mathrm{lim\; sup}}f(x)=\underset{U\in {𝒩}_{X,x_0}}{\sup }\inf f(U\setminus \{x_0\})$

성질

존재

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합 $(X,\le )$
• 하향 원순서 집합 $(I,\lesssim )$
• 순서를 보존하는 그물 $x:I\to X$. 즉, 만약 $i,i^{\prime }\in I$에 대하여 $i\lesssim i^{\prime }$이라면 $x_i\le x_{i^{\prime }}$이다.

그렇다면, $x$는 $\{x_i{\}}_{i\in I}$의 하한으로 수렴한다.

$\underset{i\to \mathrm{\perp }}{\lim }{x}_i=\underset{i\in I}{\inf }{x}_i$

증명:

편의상

$y=\underset{i\in I}{\inf }{x}_i$

로 표기하자. 임의의 $y_{-}<y<y_{+}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $y_{+}$는 (하한의 정의에 의하여) $\{x_i{\}}_{i\in I}$의 하계가 될 수 없으며, 따라서 $x_{i_0}<y$인 $i_0\in I$가 존재한다. 그렇다면, 임의의 $i\lesssim i_0$에 대하여 $y_{-}<x_i<y_{+}$이다.

따라서, 만약 $(X,\le )$가 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합 $(X,\le )$이라면, $X$ 위의 필터 기저 $ℬ$는 항상 상극한과 하극한을 가지며, 이들은 다음과 같다.

$\mathrm{lim\; sup}ℬ=\underset{B\in ℬ}{\inf }\sup B$

$\mathrm{lim\; inf}ℬ=\underset{B\in ℬ}{\sup }\inf B$

특히, 확장된 실수 $\overline{ℝ}=[-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$는 완비 전순서 집합이므로, 이 속의 그물 및 수열은 항상 상극한과 하극한을 가진다.

극한과의 관계

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합 $(X,\le )$
• 하향 원순서 집합 $(I,\lesssim )$
• 그물 $x:I\to X$
• 점 $x_0\in X$

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\underset{i\in I}{\lim }=x_0$. 즉, $(x_i{)}_{i\in I}$는 $x_0\in X$로 수렴한다.
• $x_0=\underset{i\in I}{\mathrm{lim\; sup}}=\underset{i\in I}{\mathrm{lim\; inf}}$이다.

상극한과 하극한의 관계

임의의 순서체 $(K,\le )$ 속의 집합족 $ℬ\subseteq 𝒫(K)$에 대하여 다음이 성립한다.

$-\mathrm{lim\; inf}ℬ=\mathrm{lim\; sup}(-ℬ)$

$-ℬ=\{-B:B\in ℬ\}=\{\{-b:b\in B\}:B\in ℬ\}$

마찬가지로, 임의의 순서체 $(K,\le )$ 위의 그물 $x:I\to K$에 대하여, 상극한과 하극한에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다.

$-\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{x}_i=-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}(-x_i)$

$\underset{i\in I}{\inf }{x}_i\le \underset{i\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{x}_i\le \underset{i\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}(x_i)\le \underset{i\in I}{\sup }{x}_i$

마찬가지로, 임의의 위상 공간 $X$ 및 함수 $f:X\to K$ 및 점 $x_0\in X$에 대하여, 다음이 성립한다.

$-\underset{x\to x_0}{\mathrm{lim\; inf}}f(x)=\underset{x\to x_0}{\mathrm{lim\; sup}}(-f(x))$

$\underset{x\in X}{\inf }f(x)\le \mathrm{lim\; inf}f(x)\le \underset{x\to x_0}{\mathrm{lim\; sup}}f(x)\le \underset{x\in X}{\sup }f(x)$

가법성

순서체 $(K,\le )$ 속의 두 그물

$a,b:I\to K$

에 대하여, 만약 아래 부등식들의 우변이 존재한다면, 다음이 성립한다.

$\underset{i\in I}{\mathrm{lim\; sup}}(a_i+b_i)\le \underset{i\in I}{\mathrm{lim\; sup}}(a_i)+\underset{i\in I}{\mathrm{lim\; sup}}(b_i)$

$\underset{i\in I}{\mathrm{lim\; inf}}(a_i+b_i)\ge \underset{i\in I}{\mathrm{lim\; inf}}(a_i)+\underset{i\in I}{\mathrm{lim\; inf}}(b_i)$

또한, 만약 $a$나 $b$가 수렴한다면, 위의 두 부등식은 등식이 된다.

예

수열 $x_n=\sin n$에 대하여, π가 무리수이므로 다음이 성립한다.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{x}_n=-1$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{x}_n=+1$

이는 균등 분포 정리에 의해 $1,2,3,\dots mod2\pi$가 균등 분포이기 때문이다.

쌍둥이 소수 추측은 다음과 같은 내용을 담는다.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}(p_{n+1}-p_n)=2$

여기서 $p_n$은 $n$번째 소수이다.

함수

$f$의 그래프 (위상수학자의 사인 곡선)

위상수학자의 사인 곡선을 정의하는 함수

$f:ℝ\to ℝ$

$f:x\mapsto \{\begin{array}{cc}\sin (1/x)& x\ne 0\\ 0& x=0\end{array}$

를 생각하자. 그렇다면,

$\underset{x\to 0}{\mathrm{lim\; inf}}f(x)=-1$

$\underset{x\to 0}{\mathrm{lim\; sup}}f(x)=1$

이다. (사실, $f(0)$의 값은 어떻든 상관없다.)

참고 문헌

• 틀:서적 인용
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외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
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• 틀:웹 인용
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