군의 표시

틀:위키데이터 속성 추적 틀:구별 군론에서, 군의 표시(表示, 틀:Llang)는 주어진 군을 생성원과 이들 사이의 관계식들을 통해 구체적으로 적는 방법이다.

정의

표시는 다음과 같은 순서쌍 $⟨S|R⟩$이다.

• $S$는 집합이다.
• $R\subset \mathrm{Free}(S)$는 $S$ 및 ${-1}^{}$로 구성되는 유한 문자열들의 집합이다.

이 순서쌍에 의하여 표시되는 군은 다음과 같다.

$⟨S|R⟩=\mathrm{Free}(S)/\mathrm{Free}(S{)}^{-1}R\mathrm{Free}(S)$

여기서

• $\mathrm{Free}(S)$는 $S$로부터 생성되는 자유군이다.
• $\mathrm{Free}(S{)}^{-1}R\mathrm{Free}(S)$는 $R$를 포함하는 $\mathrm{Free}(S)$의 최소의 정규 부분군이다. 이는 $R$와 $R^{-1}$의 켤레 원소들의 유한 곱들로 구성된다.

성질

표시된 두 군 $⟨S|R⟩$, $⟨T|Q⟩$의 자유곱은 다음과 같다.

$⟨S|R⟩*⟨T|Q⟩=⟨S\cup T|R\cup Q⟩$

표시된 두 군 $⟨S|R⟩$, $⟨T|Q⟩$의 직접곱은 다음과 같다.

$⟨S|R⟩\times ⟨T|Q⟩=⟨S\cup T|R\cup Q\cup \{rq{r}^{-1}{q}^{-1}:r\in R,q\in Q\}⟩$

예

대표적인 군들의 표시는 다음과 같다.

군	표시	비고
자명군	$⟨|⟩$
자유군	$⟨S|⟩$	집합 $S$에 대하여, $S$로부터 생성되는 자유군
자유 아벨 군	$⟨S|\{ab{a}^{-1}{b}^{-1}:a,b\in S\}⟩$	계수가 $|S|$인 자유 아벨 군
순환군 $Z_n$	$⟨a|a^n⟩$
대칭군 $\mathrm{Sym}(n)$	$⟨{\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n|{\sigma }_i^2,{\sigma }_i{\sigma }_j{\sigma }_i^{-1}{\sigma }_j^{-1}(j\ne i\pm 1),({\sigma }_i{\sigma }_{i+1}{)}^3⟩$
정사면체군	$⟨s,t|s^2,t^3,(st{)}^3⟩$
정팔면체군	$⟨s,t|s^2,t^3,(st{)}^4⟩$
정이십면체군	$⟨s,t|s^2,t^3,(st{)}^5⟩$
사원수군	$⟨i,j|jij{i}^{-i},iji{j}^{-1}⟩$

외부 링크

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• 틀:매스월드
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