바이어슈트라스 M-판정법

틀:위키데이터 속성 추적 틀:미적분학 해석학에서 바이어슈트라스 M-판정법(틀:Llang)은 함수항 급수가 균등 수렴할 충분 조건을 제시하는 수렴 판정법이다. 멱급수를 다룰 때 유용하다.

정의

$𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

실숫값 또는 복소숫값 함수항 급수

집합 $S$ 및 함수열 $f_n:S\to 𝕂$ ($n\in \mathbb{N}$)이 주어졌다고 하자. 또한, 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수의 열 $(M_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq [0,\mathrm{\infty })$이 존재한다고 하자.

• 임의의 $n\in \mathbb{N}$ 및 $s\in S$에 대하여, $|f_n(s)|\le M_n$
• ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{M}_n<\mathrm{\infty }$

바이어슈트라스 M-판정법에 따르면, 함수항 급수 ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$는 균등 수렴한다. 틀:증명 임의의 양의 실수 $ϵ>0$에 대하여, ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{M}_n$의 부분합이 코시 수열이므로, 다음을 만족시키는 자연수 $N_{ϵ}\in \mathbb{N}$가 존재한다.

임의의 $m,n>N_{ϵ}$에 대하여, $\left|{\sum }_{k=m+1}^n{M}_k\right|<ϵ$

삼각 부등식에 따라, 임의의 $m,n>N_{ϵ}$ 및 $s\in S$에 대하여,

$|\sum _{k=m+1}^n{f}_k(s)|\le \sum _{k=m+1}^n|f_k(s)|\le \sum _{k=m+1}^n{M}_n<ϵ$

이다. 균등 수렴에 대한 코시 수렴 판정법에 따라, ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$은 균등 수렴한다. 틀:증명 끝

바나흐 공간 값의 함수항 급수

보다 일반적으로, 집합 $S$ 및 $𝕂$-바나흐 공간 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 및 함수열 $f_n:S\to X$ ($n\in \mathbb{N}$)이 주어졌다고 하자. 또한, 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수의 열 $(M_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq [0,\mathrm{\infty })$이 존재한다고 하자.

• 임의의 $n\in \mathbb{N}$ 및 $s\in S$에 대하여, $\Vert f_n(s)\Vert \le M_n$
• ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{M}_n<\mathrm{\infty }$

바이어슈트라스 M-판정법에 따르면, 함수항 급수 ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$는 균등 수렴한다. 틀:증명 유계 함수 $S\to X$의 벡터 공간 $ℬ(S,X)$ 위에 다음과 같은 상한 노름을 줄 수 있다.

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{s\in S}{\sup }\Vert f(s)\Vert (f\in ℬ(S,X))$

이 경우 $ℬ(S,X)$는 위 노름에 대하여 바나흐 공간을 이룬다 (증명: 완비 거리 공간#완비 공간 값의 유계 함수).

각 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 $\Vert f_n{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le M_n$이며, ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{M}_n<\mathrm{\infty }$이므로, ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\Vert f_n{\Vert }_{\mathrm{\infty }}<\mathrm{\infty }$이다. 즉, ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$은 (상한 노름에 대하여) 절대 수렴한다. 따라서 ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$은 (상한 노름에 대하여) 수렴한다. 즉, 균등 수렴한다. 틀:증명 끝

예

다음과 같은 함수열 $f_n:[0,\mathrm{\infty })\to ℝ$ ($n\in {\mathbb{Z}}^{+}$)을 생각하자.

$f_n:x\mapsto x^2\exp (-nx)$

그렇다면

${f_n}^{\prime }(x)=x\exp (-nx)(2-nx)$

이므로 각 $f_n$은 $x=\frac{2}{n}$에서 최댓값 ${\left(\frac{2}{n}\right)}^2\exp (-2)$을 가진다. ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}<\mathrm{\infty }$이므로, ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$은 균등 수렴한다.

역사

카를 바이어슈트라스의 이름을 땄다.

같이 보기

• 균등 수렴

참고 문헌

• 틀:서적 인용: 148.