푸페 완전열

틀:위키데이터 속성 추적 호모토피 이론에서 푸페 완전열(Puppe完全列, 틀:Llang)은 어떤 연속 함수로부터 유도되는 긴 완전열이다.

정의

두 점을 가진 공간

$(X,{\bullet }_X)$

$(Y,{\bullet }_Y)$

사이의, 점을 보존하는 연속 함수

$f:X\to Y$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 사상뿔

$\mathrm{C}f=\frac{X\times 𝕀\bigsqcup Y}{\sim }$

$(x,0)\sim (x^{\prime },0)\mathrm{\forall }x,x^{\prime }\in X$

$(x,1)\sim f(x)\mathrm{\forall }x\in X$

${\bullet }_{\mathrm{C}f}=[({\bullet }_X,1){]}_{\sim }=[{\bullet }_Y{]}_{\sim }$

과 사상올

$\mathrm{M}f=\{(x,\gamma )\in X\times {\mathrm{hom}}_{\bullet }(𝕀,Y):\gamma (1)=f(x)\}$

${\bullet }_{\mathrm{M}f}=({\bullet }_X,(t\mapsto {\bullet }_Y))$

을 정의할 수 있다. (여기서 $𝕀=([0,1],0)$은 밑점 0을 가진 닫힌구간이다.) 만약 $f$가 올뭉치라면 사상올은 그 올과 호모토피 동치이며, 만약 $f$가 쌍대올뭉치라면 사상뿔은 그 쌍대올과 호모토피 동치이다.

이에 따라, 두 호모토피 짧은 완전열

$\bullet \to \mathrm{M}f\to X\to Y\to \bullet$

$\bullet \to X\to Y\to \mathrm{C}f\to \bullet$

을 정의할 수 있다. 즉, 합성 사상

$\mathrm{M}f\to Y$

$(x,\gamma )\mapsto \gamma (1)$

은 상수 함수 $(x,\gamma )\mapsto {\bullet }_Y$와 호모토픽하며, 합성 사상

$X\to \mathrm{C}f$

$x\mapsto [(x,1)]$

역시 상수 함수와 호모토픽하다.

또한, 축소 고리 공간의 포함 관계

$\mathrm{\Omega }Y\hookrightarrow \mathrm{M}f$

$\gamma \mapsto ({\bullet }_X,\gamma )$

와 축소 현수로의 몫 관계

$\mathrm{C}f\twoheadrightarrow \mathrm{\Sigma }X$

$(x,t)\mapsto [(x,t)]\mathrm{\forall }(x,t)\in X\times 𝕀$

$y\mapsto {\bullet }_{\mathrm{\Sigma }X}\mathrm{\forall }y\in Y$

를 사용하여, 더 긴 열

$\mathrm{\Omega }Y\to \mathrm{M}f\to X\to Y$

$X\to Y\to \mathrm{C}f\to \mathrm{\Sigma }X$

을 정의할 수 있다. 이제, 축소 고리 공간과 축소 현수의 함자성을 통해 열

$\mathrm{\Omega }X\stackrel{\mathrm{\Omega }f}{\to }\mathrm{\Omega }Y\hookrightarrow \mathrm{M}f\to X\stackrel{f}{\to }Y$

$X\stackrel{f}{\to }Y\to \mathrm{C}f\twoheadrightarrow \mathrm{\Sigma }X\stackrel{\mathrm{\Sigma }f}{\to }\mathrm{\Sigma }Y$

을 정의할 수 있으며, 이 역시 완전열임을 보일 수 있다. 또한,

$\mathrm{\Sigma }\mathrm{C}f\simeq \mathrm{C}\mathrm{\Sigma }f$

$\mathrm{\Omega }\mathrm{M}f\simeq \mathrm{M}\mathrm{\Omega }f$

가 성립한다. 따라서, 이 과정을 반복하여 무한히 긴 호모토피 완전열

$\cdots \to {\mathrm{\Omega }}^2\mathrm{M}f\to {\mathrm{\Omega }}^{2}X\to {\mathrm{\Omega }}^{2}Y\to \mathrm{\Omega }\mathrm{M}f\to \mathrm{\Omega }X\to \mathrm{\Omega }Y\to \mathrm{M}f\to X\to Y$

$X\to Y\to \mathrm{C}f\to \mathrm{\Sigma }X\to \mathrm{\Sigma }Y\to \mathrm{\Sigma }\mathrm{C}f\to {\mathrm{\Sigma }}^{2}X\to {\mathrm{\Sigma }}^{2}Y\to {\mathrm{\Sigma }}^2\mathrm{C}f\to \cdots$

을 정의할 수 있다. (여기서 ‘호모토피 완전열’이란 두 사상의 합성이 밑점으로의 상수 함수와 호모토픽함을 뜻한다.) 이를 푸페 완전열이라고 한다.

예

푸페 완전열

$\cdots \to {\mathrm{\Omega }}^2\mathrm{M}f\to {\mathrm{\Omega }}^{2}X\to {\mathrm{\Omega }}^{2}Y\to \mathrm{\Omega }\mathrm{M}f\to \mathrm{\Omega }X\to \mathrm{\Omega }Y\to \mathrm{M}f\to X\to Y$

에서, 성분별 0차 호모토피 군을 취하자. ${\pi }_n(X)={\pi }_0({\mathrm{\Omega }}^{n}X)$를 사용하면, 이는 군의 완전열

$\cdots \to {\pi }_2(\mathrm{M}f)\to {\pi }_2(X)\to {\pi }_2(Y)\to {\pi }_1(\mathrm{M}f)\to {\pi }_1(X)\to {\pi }_1(Y)\to {\pi }_0(\mathrm{M}f)\to {\pi }_0(X)\to {\pi }_0(Y)$

을 얻는다. (물론, ${\pi }_0$에 대한 마지막 항들은 일반적으로 군이 아니다.)

특히, $X$가 $Y$의 (점을 공유하는) 부분 공간이라고 하자. 그렇다면, 이 경우 사상올

$\mathrm{M}f=\{\gamma \in {\mathrm{hom}}_{\bullet }(𝕀,Y):\gamma (1)\in X\}$

의 호모토피 군이 상대 호모토피 군과 동형임을 보일 수 있다.

${\pi }_n(\mathrm{M}f)\cong {\pi }_{n+1}(Y,X)$

즉, 이 경우 푸페 완전열은 상대 호모토피 완전열

$\cdots \to {\pi }_3(Y,X)\to {\pi }_2(X)\to {\pi }_2(Y)\to {\pi }_2(Y,X)\to {\pi }_1(X)\to {\pi }_1(Y)\to {\pi }_1(Y,X)\to {\pi }_0(X)\to {\pi }_0(Y)$

과 같다.

역사

디터 푸페가 도입하였다.

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab