위상수학자의 사인 곡선

위상수학자의 사인 곡선

일반위상수학에서 위상수학자의 사인 곡선(틀:Llang)은 일반위상수학의 많은 문제의 반례가 되는 위상 공간이다.

정의

평면의 부분집합 $S$를 다음과 같이 정의하자.

$S=\{(x,\sin \left(\frac{1}{x}\right)):0<x\le 1\}\subseteq {ℝ}^2$

위상수학자의 사인 곡선은 집합 $S$의 ${ℝ}^2$에서의 폐포

$\mathrm{cl}S=S\cup \{(0,y):y\in [-1,1]\}$

이다.

성질

위상수학자의 사인 곡선 $\mathrm{cl}S$는 다음 성질들을 만족시킨다.

• 연결 공간이다.
• 국소 연결 공간이 아니다.
• 2개의 경로 연결 성분 $S$와 $\{(0,y):y\in [-1,1]\}$을 갖는다.

위상 공간 $S\cup \{(0,0)\}$은 다음 성질들을 만족시킨다.틀:Rp

• 국소 콤팩트 공간이 아니다.
  • $(0,0)\in S$는 콤팩트 근방이 없다.
• 국소 콤팩트 공간의 연속 함수에 대한 상이다.
  • 구체적으로, $\{-1\}\cup (0,1]\to S\cup \{(0,0)\}$, $-1\mapsto (0,0)$, $x\mapsto (x,\sin (1/x))$ ($\mathrm{\forall }x\in (0,1]$)은 전사 연속 함수이며, $\{-1\}\cup (0,1]$은 국소 콤팩트 공간이다.
• 연결 공간이다.
• 국소 연결 공간이 아니다.
• 2개의 경로 연결 성분 $S$와 $\{(0,0)\}$을 갖는다.

위상 공간

$\mathrm{cl}S\cup \{(x,1):0\le x\le 1\}$

은 다음 성질들을 만족시킨다.틀:Rp

• 호 연결 공간이다.
• 국소 연결 공간이 아니다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:매스월드