쌍순환군

틀:위키데이터 속성 추적 군론에서 쌍순환군(雙循環群, 틀:Llang) 또는 일반화 사원수군(一般化四元數郡, 틀:Llang)은 짝수 크기의 순환군의 2배 확대이다. 사원수군의 일반화이다.

정의

아벨 군 $A$ 및 차수 2의 원소 $y\in A$가 주어졌을 때, 쌍순환군 $\mathrm{Dic}(A,y)$는 다음 조건들을 만족시키는 군 $G\ge A$이다.

• 부분군의 지표는 $[G:A]=2$
• $G$는 $A$와 어떤 $x\in G\setminus A$에 의하여 생성되며, 또한 $x^2=y$이며 $x^{-1}ax=a^{-1}$이다.

이러한 군은 항상 유일하다. 만약 $A$의 군의 표시가

$A=⟨\{a_i{\}}_{i\in I}|R⟩$

라면, $\mathrm{Dic}(A,y)$의 표시는 다음과 같다.

$\mathrm{Dic}(A,y)=⟨\{a_i{\}}_{i\in I},x|R,x^{-1}{a}_{i}x=a_i^{-1},x^2=y⟩$

짝수 크기의 순환군 $\mathrm{Cyc}(2n)=⟨a|a^{2n}=1⟩$의 경우, 차수가 2인 원소 $a^n$이 유일하게 존재한다. $\mathrm{Cyc}(2n)$에 대한 쌍순환군을 $\mathrm{Dic}(n)$이라고 한다. 이 군의 표시는 다음과 같다.틀:Rp

$\mathrm{Dic}(n)=⟨a,x|a^{2n}=1,x^2=a^n,x^{-1}ax=a^{-1}⟩$

이는 다음과 같은 사원수 가역원군의 부분군으로 나타낼 수 있다.

$\mathrm{Dic}(n)=\{\exp (i\pi m/n)j^k:m,k\in \mathbb{Z}\}$

성질

다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to A\hookrightarrow \mathrm{Dic}(A,y)\twoheadrightarrow \mathrm{Cyc}(2)\to 1$

그러나 이는 분할 완전열이 아니다.

다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

$\begin{array}{ccc}\mathrm{Dic}(A,y)& \twoheadrightarrow & \mathrm{Dih}(A/⟨y⟩)\\ \cup & & \cup \\ A& \twoheadrightarrow & A/⟨y⟩\end{array}$

여기서 $\mathrm{Dih}(A/⟨y⟩)\cong (A/⟨y⟩)⋊\mathrm{Cyc}(2)$는 정이면체군이다.

예

낮은 차수의 쌍순환군은 다음과 같다.

$\mathrm{Dic}(1)\cong \mathrm{Cyc}(4)$

$\mathrm{Dic}(2)\cong Q_8$ (사원수군)

$\mathrm{Dic}(3)\cong \mathrm{Cyc}(3)⋊\mathrm{Cyc}(4)$

$\mathrm{Dic}(6)\cong \mathrm{Cyc}(3)⋊Q_8$

$\mathrm{Dic}(7)\cong \mathrm{Cyc}(7)⋊\mathrm{Cyc}(4)$

$\mathrm{Dic}(3)$의 반직접곱 표현에서, $\mathrm{Cyc}(4)$의 $\mathrm{Cyc}(3)$ 위의 작용은 다음과 같다.

$\mathrm{Cyc}(3)=⟨a|a^3=1⟩$

$\mathrm{Cyc}(4)=⟨b|b^4=1⟩$

$b:\{\begin{array}{c}1\mapsto 1\\ a\mapsto a^2\\ a^2\mapsto a\end{array}$

외부 링크

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