수술 (수학)

원에 0-수술을 가하면 하나의 원 또는 두 개의 원으로 만들 수 있다.

미분위상수학에서 수술(手術, 틀:Llang)은 다양체 속의 원기둥을 도려내고 그 자리에 다른 모양의 원기둥을 붙여 전체의 위상을 바꾸는 연산이다. 수술은 고차원 (5차원 이상) 다양체의 연구에 매우 중요한 역할을 하며, 그 이론을 수술 이론(手術理論, 틀:Llang)이라고 한다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• $p+q$차원 다양체 $M$
• 연속인 매장 $\varphi :{𝕊}^p\times {𝔻}^q\hookrightarrow M$

여기서 ${𝕊}^p$는 $p$차원 초구이며 ${𝔻}^q$는 $q$차원 닫힌 공이다. 이 때 $\varphi$의 상에 해당하는 $M$의 부분다양체 $N:=\mathrm{im}\varphi$의 경계는 ${𝔻}^{p+1}\times {𝕊}^{q-1}$의 경계와 같다.

$\partial (N)\simeq \partial ({𝕊}^p\times {𝔻}^q)\simeq {𝕊}^p\times {𝕊}^{q-1}\simeq \partial ({𝔻}^{p+1}\times {𝕊}^{q-1})$

그러므로 $N$을 도려내고 그 자리에 $({𝔻}^{p+1}\times {𝕊}^{q-1})$를 채워넣어 새로운 $p+q$차원 다양체 $M^{\prime }$을 만들 수 있다.

$M^{\prime }:=(M\setminus N){\cup }_{\partial (N)}({𝔻}^{p+1}\times {𝕊}^{q-1})$

이와 같은 과정을 $p$-수술이라고 한다.

만약 $M$이 매끄러운 다양체일 경우, 수술한 자리 주변에 매끄럽게 하는 작업(틀:Lang)을 가해서 $M^{\prime }$이 매끄러운 구조를 가지도록 만들 수 있다. 조각적 선형 다양체일 경우에도 비슷한 작업이 가능하다.

예

원 위의 수술

원 위에서 0-수술을 다음과 같이 가하자.

즉, 원 속에서 ${𝕊}^0\times {𝔻}^1$을 도려내고, 그 속에 다른 방향으로 ${𝔻}^1\times {𝕊}^0$를 이어붙인다. 이 경우, 수술의 방향에 따라 두 가지가 존재하는데, 하나는 한 개의 원, 다른 하나는 두 개의 원을 얻는다.

구 위의 수술

구 ${𝕊}^2$ 위에 1-수술을 가한다면, 두 개의 구를 얻는다.

구 ${𝕊}^2$ 위에 0-수술을 가하자. 이 경우, ${𝕊}^0\times {𝔻}^2\cong {𝔻}^2\bigsqcup {𝔻}^2$를 도려내면 원기둥 ${𝕊}^1\times {𝔻}^1$을 얻으며, 여기에 ${𝔻}^1\times {𝕊}^1$을 이어붙인다면 이는 방향에 따라 원환면 ${𝕋}^2={𝕊}^1\times {𝕊}^1$ 또는 클라인 병을 얻는다.

모스 함수

틀:본문 $n+1$차원 매끄러운 다양체 $M$ 위의 모스 함수 $f$의 임곗값 $c\in ℝ$이 정확히 하나의 임계점 $x\in M$에 대응한다고 하고, $x$의 모스 지표가 $p+1$이라고 하자. 모스 이론에 따르면 이 때 충분히 작은 $ϵ\in {ℝ}^{+}$에 대하여 다양체 $f^{-1}(c-ϵ)$를 $f^{-1}(c+ϵ)$에 $p$-수술을 가하여 얻을 수 있다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:Eom