공 (기하학)

공은 구의 내부이다.

수학에서 공(틀:Llang)은 구의 안쪽, 또는 그 경계인 구까지 포함한 것이다. 공의 개념은 3차원 유클리드 공간뿐만 아니라, 유클리드 공간 · 거리 공간 · 위상 공간으로 확장된다.

정의

유클리드 공간

유클리드 공간 ${ℝ}^n$ 및 그 속의 원소 $a\in {ℝ}^n$ 및 실수 $r\in ℝ$이 주어졌다고 하자.

• 중심이 $a$, 반지름이 $r$인 열린 공(틀:Llang) $B_r(a)$는 다음과 같은 집합이다.

  $B_r(a)=\{x\in {ℝ}^n:\Vert x-a\Vert <r\}$

• 중심이 $a$, 반지름이 $r$인 닫힌 공(틀:Llang) $B_r[a]$는 다음과 같은 집합이다.

  $B_r[a]=\{x\in {ℝ}^n:\Vert x-a\Vert \le r\}$

거리 공간

거리 공간 $(X,d)$ 및 그 속의 원소 $a\in X$ 및 실수 $r\in ℝ$이 주어졌다고 하자.

• 중심이 $a$, 반지름이 $r$인 열린 공(틀:Llang) $B_r(a)$는 다음과 같은 집합이다.

  $B_r(a)=\{x\in X:d(x,a)<r\}$

• 중심이 $a$, 반지름이 $r$인 닫힌 공(틀:Llang) $B_r[a]$는 다음과 같은 집합이다.

  $B_r[a]=\{x\in X:d(x,a)\le r\}$

성질

닫힌 공이 항상 그에 대응하는 열린 공의 폐포이지는 않은 데 주의하자.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

같이 보기

• 구
• 초구