레비의 정리

틀:위키데이터 속성 추적 레비의 정리(Levi's theorem, -定理)는 실해석학 및 복소해석학의 정리로, 르베그 적분과 무한급수 연산을 서로 교환할 수 있다는 것을 보장해 주는 정리이다. 이탈리아계 아르헨티나 수학자 베포 레비(Beppo Levi)가 증명하였다.

정의

레비의 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다.틀:Rp {f_n}이 어떤 측도 공간 X 위에서 정의된 복소 가측 함수의 열이라 하자. 만약 다음이 성립한다면,

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{X}{\int }|f_n|d\mu <\mathrm{\infty },$

급수 $f(x):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$은 거의 모든 $x\in X$에서 절대수렴하고, 다음이 성립한다.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{X}{\int }{f}_{n}d\mu =\underset{X}{\int }fd\mu .$

증명

$g(x):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|f_n|$ 라 두면 단조 수렴 정리에 의하여,

$\underset{X}{\int }g=\underset{X}{\int }\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=1}^k|f_n|=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }\sum _{n=1}^k|f_n|=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=1}^k\underset{X}{\int }|f_n|=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{X}{\int }|f_n|.$

를 얻고, 이것이 유한한 값이 된다. 따라서 $g\in L^1(\mu )$이다. 또한 거의 모든 $x\in X$에 대해 g는 유한한 값이며 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$는 절대수렴한다. 이제 지배 수렴 정리를 이용하면, k = 1, 2, ...에 대하여

$|\sum _{n=1}^k{f}_n(x)|\le \sum _{n=1}^k|f_n(x)|\le g(x)$

에서 결과를 얻는다.