뉴턴 다각형

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 수론에서 뉴턴 다각형(Newton多角形, 틀:Llang)은 국소체 계수의 다항식의 성질을 나타내는 다각형이며, 각 계수의 값매김으로 정의되는 점들의 볼록 껍질이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 완비 이산 값매김환 $D$. $D$의 분수체를 $K=\mathrm{Frac}D$로 표기하자.
• 다항식 $p=a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0\in K[x]$

$K$ 위의 이산 값매김을

$\nu :K\setminus \{0\}\to \mathbb{Z}$

로 표기하자. 편의상

$\nu (0)=+\mathrm{\infty }$

로 놓자.

그렇다면, 확장된 실수 평면 속의 다음과 같은 점들을 생각하자.

$\{(i,\nu (a_i)):i\in \mathbb{Z}\}⊊(\mathbb{Z}\bigsqcup \{\mathrm{\infty }\}{)}^2⊊(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }{]}^2$

이 점들을 포함하는 볼록 껍질을 $p$의 뉴턴 다각형이라고 한다.

성질

다항식 $p\in K[x]$ 및 대수적 폐포 $\overline{K}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 이산 값매김을 $\overline{K}$에 다음과 같이 확장할 수 있다.

$\overline{\nu }:K^{\times }\to \mathbb{Q}$

$p$의 뉴턴 다각형의 변의 수가 $r$이며, 각 변의 기울기가

$({\mu }_1,\dots ,{\mu }_r)$

이며, 각 변의 x축에 사영하였을 때의 길이가

$({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r)$

라고 하자. 그렇다면, $p$의 $\overline{K}$에서의 근

${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{\mathrm{deg}p}$

$p({\alpha }_i)=0$

가운데, 값매김이 $-{\mu }_a$인 것의 수는 ${\lambda }_a$개이다.

예

5진 정수의 이산 값매김환 ${\mathbb{Z}}_5$ 계수의 6차 다항식

$1+5x+5^{-1}{x}^2+3x^3+5^2{x}^5+5^2{x}^5+5^4{x}^6$

을 생각하자. 그렇다면, 뉴턴 다항식을 정의하는 점들은 다음과 같다.

$\{(0,0),(1,1),(2,-1),(3,0),(4,\mathrm{\infty }),(5,2),(6,4),(7,\mathrm{\infty }),(8,\mathrm{\infty }),\dots \}$

따라서, 그 볼록 껍질인 뉴턴 다각형은 다음과 같이 주어진다.

이 뉴턴 다각형은 세 개의 변으로 구성되며, 이들은 다음과 같다.

시작점	끝점	x축 사영 길이	기울기
(0,0)	(2,−1)	2	−½
(2,−1)	(5,2)	3	1
(5,2)	(6,4)	1	2

따라서, 이 다항식의 6개의 근 가운데, 5진 값매김이 ½인 것은 2개이며, −1인 것은 3개이며, −2인 것은 1개이다.

역사

아이작 뉴턴이 하인리히 올덴부르크(틀:Llang, 틀:Llang)에게 1676년에 보낸 편지에서 최초로 사용하였다.

같이 보기

• 아이젠슈타인 판정법

외부 링크

• 틀:웹 인용