ADM 에너지

틀:위키데이터 속성 추적 ADM 질량(틀:Llang) 또는 ADM 에너지(틀:Llang)는 ADM 형식에서 자연스럽게 등장하는 일종의 해밀토니언의 값이다.

정의

${ℝ}^4$ 위의, 로런츠 부호수의 계량 $g_{\mu \nu }$가 주어졌다고 하고, 또한 계량 텐서가 공간의 무한에서 점근적으로 평탄하다고 가정하자.

이에 따라,

$g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$

를 정의하자. 그렇다면, 그 ADM 질량은 다음과 같다.틀:Rp틀:Rp틀:Rp

$M=\frac{1}{16\pi G}\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\oint }_r({\delta }^{ij}{\partial }_i{h}_{jk}-{\delta }^{ij}{\partial }_k{h}_{ij}){\hat{n}}^k\sqrt{{\gamma }^{(2)}}\mathrm{d}{x}^2$

여기서

• ${\oint }_r$은 원점에서 반지름이 $r$인 구면에 대하여 계산되는 적분이다.
• ${\hat{n}}^k$는 구면에 대한 수직 단위 벡터이다.
• $\sqrt{{\gamma }^{(2)}}\mathrm{d}{x}^2$는 구면의 넓이 원소이다.
• 계수 $1/(16\pi )$는 슈바르츠실트 계량의 질량과 비교하여 고정된 것이다.

마찬가지로, ADM 운동량(ADM運動量, 틀:Llang)을 정의할 수 있으며, 다음과 같다.틀:Rp

$P^i=-\frac{1}{8\pi G}\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\oint }_r{\delta }_{jk}{\pi }^{ij}{\hat{n}}^k\sqrt{{\gamma }^{(2)}}\mathrm{d}{x}^2$

고차원 시공간에서도 마찬가지 정의가 가능하다.

성질

ADM 에너지-운동량 $P^{\mu }$는 점근적 로런츠 변환에 대하여 4차원 벡터로 변환한다.틀:Rp

존재 조건

만약 계량이 공간의 무한에서 점근적으로 평탄하지 않다면 (예를 들어, 우주 상수가 존재한다면), 위 적분들은 수렴하지 않을 수 있다.

구체적으로, $D>2$차원 리만 다양체 $(\mathrm{\Sigma },g)$가 주어졌으며, $\mathrm{\Sigma }$는 유클리드 공간의 부분 집합

${ℝ}^D\setminus \mathrm{ball}(0,1;{ℝ}^D)$

와 미분 동형이라고 하자 ($\mathrm{ball}(0,1;{ℝ}^D)$는 ${ℝ}^D$ 속의 단위 초구). 즉, 이 경우 위 미분 동형 사상에 의하여 좌표계 $(x^i{)}_{i=1,\dots ,D}$ 및 함수 $r=\sqrt{{\delta }_{ij}{x}^i{x}^j}$를 정의할 수 있다. $(\mathrm{\Sigma },g)$의 ADM 질량이 유한하게 존재할 충분 조건은, 다음 부등식들을 만족시키는 상수 $\alpha$가 존재하는 것이다.틀:Rp

$|g_{ij}-{\delta }_{ij}|\in O\left(r^{-\alpha }\right)\mathrm{\forall }i,j\in \{1,\dots ,D\}$

$|{\partial }_k{g}_{ij}|\in O(r^{-\alpha -1})\mathrm{\forall }i,j,k\in \{1,\dots ,D\}$

$R\in {\mathrm{L}}^1(\mathrm{\Sigma };ℝ)$

$\alpha >\frac{D-2}{2}$

여기서 $\alpha$는 인 임의의 상수이며, $R:\mathrm{\Sigma }\to ℝ$는 스칼라 곡률 함수이며, ${\mathrm{L}}^1(\mathrm{\Sigma };ℝ)$는 $\mathrm{\Sigma }$ 위의 절댓값 적분 가능 실함수들의 집합(즉, L^p 공간의 특수한 경우)이다.

양 에너지 정리

양 에너지 정리(陽energy定理, 틀:Llang)에 따르면, 다음이 성립한다.

• ① 우세 에너지 조건을 만족시키고, ② 점근적으로 평탄한 4차원 시공간의 ADM 에너지는 음이 아닌 실수이며,
• ①과 ②를 만족시키며, ③ ADM 에너지가 0인 4차원 시공간은 민코프스키 공간 밖에 없다.

리만-펜로즈 부등식

점근적으로 평탄한 3차원 리만 다양체 $(\mathrm{\Sigma },\gamma )$가 주어졌다고 하고, (시간 불변 시공간으로 간주하였을 때) 그 ADM 질량이 $m$이라고 하자. 또한, $\mathrm{\Sigma }$의 극소 곡면 가운데 제일 바깥에 있는 것의 넓이가 $A$라고 하자. (이러한 극소 곡면은 연결 공간이 아닐 수 있다.) 그렇다면, 리만-펜로즈 부등식(Riemann-Penrose不等式, 틀:Llang)에 따르면, 다음이 성립한다.

$Gm\ge \sqrt{A/16\pi }$

이는 양 에너지 정리의 일반화이다.

역사

아노윗 (左) · 데세르 (中) · 미스너 (右). 2009년 사진

리처드 루이스 아노윗(틀:Llang, 1928~2014) · 스탠리 데세르(틀:Llang, 1931~) · 찰스 미스너(틀:Llang, 1932~)가 1959년~1961년에 도입하였다.

양 ADM 에너지 정리는 1979년에 리처드 멜빈 셰인(틀:Llang)과 야우싱퉁이 최초로 증명하였다. 이후 1981년에 에드워드 위튼이 순간자를 통한 새 증명을 제시하였고, 이듬해에 토머스 파커(틀:Llang)와 클리퍼드 헨리 토브스(틀:Llang)가 위튼의 증명을 수학적으로 엄밀하게 보완하였다.

리만-펜로즈 부등식은 1973년에 로저 펜로즈가 물리학을 사용하여 추측하였으며, 2001년에 휴버트 루이스 브레이(틀:Llang) · 게르하르트 후이스켄(틀:Llang, 1958~) · 톰 일매넌(틀:Llang, 1961~)이 수학적으로 엄밀히 증명하였다.